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题目大意:

给你一段序列和一个长为k的窗口,这个窗口从最左边逐渐向右滑,直到滑到最右边,问你,该窗口在滑动的过程中,最大值和最小值是多少。

解题分析:

解决这个问题可以使用一种叫做单调队列的数据结构,它维护这样一种队列:

a)从队头到队尾,元素在我们所关注的指标下是递减的(严格递减,而不是非递增),比如查询如果每次问的是窗口内的最小值,那么队列中元素从左至右就应该递增,如果每次问的是窗口内的最大值,则应该递减,依此类推。这是为了保证每次查询只需要取队头元素。

b)从队头到队尾,元素对应的时刻(此题中是该元素在数列a中的下标)是递增的,但不要求连续,这是为了保证最左面的元素总是最先过期,且每当有新元素来临的时候一定是插入队尾。

满足以上两点的队列就是单调队列,首先,只有第一个元素的序列一定是单调队列。

那么怎么维护这个单调队列呢?无非是处理插入和查询两个操作。

对于插入,由于性质b,因此来的新元素插入到队列的最后就能维持b)继续成立。但是为了维护a)的成立,即元素在我们关注的指标下递减,从队尾插入新元素的时候可能要删除队尾的一些元素,具体说来就是,找到第一个大于(在所关注指标下)新元素的元素,删除其后所有元素,并将新元素插于其后。因为所有被删除的元素都比新元素要小,而且比新元素要旧,因此在以后的任何查询中都不可能成为答案,所以可以放心删除。

对于查询,由于性质b,因此所有该时刻过期的元素一定都集中在队头,因此利用查询的时机删除队头所有过期的元素,在不含过期元素后,队头得元素就是查询的答案(性质a),将其返回即可。

由于每个元素都进队出队一次,因此摊销复杂度为O(n)。

单调队列模板题,维护两个单调队列,一个维护最小值,单调递增,最小值在队首,另一个维护最大值,单调递减,最大值在队首,然后在窗口滑动的过程中,记录下队首即可 。

#include <cstdio>
#include <cstring>

;
int n,k;
int a[M],qmax[M],qmin[M],pmax[M],pmin[M],mx[M],mi[M];

void get_max(){
    ,head=;
    ;i<k;i++){
        while(head<=tail&&qmax[tail]<=a[i])
            --tail;
        qmax[++tail]=a[i];
        pmax[tail]=i;
    }
    for(int i=k;i<=n;i++){
        while(head<=tail&&qmax[tail]<=a[i])
            --tail;
        qmax[++tail]=a[i];
        pmax[tail]=i;
        )
            ++head;
        mx[i-k+]=qmax[head];
    }
    ;i<=n-k+;i++){
        i==?printf("%d",mx[i]):printf(" %d",mx[i]);
    }
    printf("\n");
}

void get_min(){
    ,head=;
    ;i<k;i++){  //先开始将前k-1个元素插入优先队列
        while(head<=tail&&qmin[tail]>=a[i]) //求最小值,维护一个单调递增的队列,最小值在队首
            --tail;
        qmin[++tail]=a[i];  //将队尾不符合条件的元素删除后,将该元素插入队尾
        pmin[tail]=i;  //队尾元素的位置
    }
    for(int i=k;i<=n;i++){ //然后将从第k个元素及以后插入优先队列,此时就要注意过期的队首元素的删除
        while(head<=tail&&qmin[tail]>=a[i])   //依然是插入时的维护
            --tail;
        qmin[++tail]=a[i];
        pmin[tail]=i;
        )   //如果队首元素的下标过小,则将该过期的队首元素删除
            ++head;
        mi[i-k+]=qmin[head];   //记录下新队首元素的下标
    }
    ;i<=n-k+;i++){
        i==?printf("%d",mi[i]):printf(" %d",mi[i]);
    }
    printf("\n");
}

int main(){
    while(scanf("%d %d",&n,&k)!=EOF){
        ;i<=n;i++){
            scanf("%d",&a[i]);
        }
        get_min();
        get_max();
    }
    ;
}

2018-09-23

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