Beautiful numbers CodeForces - 55D
2024-09-01 09:40:31
题意:
找出区间[li,ri]内有多少数满足,这个数的每一个位的非0数都能把这个数整除
题解:
因为这个数每一位的值都可以把这个数整除,那也就是说这个数是它所有位数的公倍数,但是可能不是最小公倍数。
1、2、3、4、5、6、7、8、9的最小公倍数是2520
那么我就可以让我们要判断的那个数去取余2520来实现我们记忆化操作
因为1——9的最小公倍数是2520,所以1——9中任意几个数的最小公倍数肯定是2520的余数,所以我们只需要找出来1——2520之中所有2520的余数就可以了。最后找出来也就48个
给这48个位置每一个映射一个值
这个样子就又可以减小dp数组的大小
dp[x][y][z]表示:枚举到第x位,这个数取余2520的结果是y,这个数目前所有位数的最小公倍数所对应的映射是z
代码:
1 //首先要求能被各位上的数整除,可以转化为被一个数整除问题。
2 //这个数就是各位上数的最小公倍数LCM(不是GCD)。
3 //其次,处理整除问题,得转化成数位DP的余数模板。1~9的LCM最大是2520, 那么%2520,让其可以开数组进行记忆化搜索。
4 //最后, 对于不能%2520最后结果,再%各个数位累计过来的LCM。
5 //这样下来,需要开20*2520*2520的数组,往CF上一交你会发现MLE。
6 //仔细观察每次的LCM,其范围是1~2520没错,但是都是整除gcd的结果(LCM=a*b/gcd(a,b) ),也就是说所有LCM都是某个数的约数。
7 //这个数其实就是2520。所以DP之前,为2520打个表,把LCM给离散化Hash。这样其实只有48个LCM了。数组开20*2520*50即可。
8 //注意结果是int64。
9 #include<stdio.h>
10 #include<string.h>
11 #include<algorithm>
12 #include<iostream>
13 #include<map>
14 using namespace std;
15 const int maxn=20;
16 const int mod=2520;
17 typedef long long ll;
18 ll v[maxn],dp[maxn][mod+50][50];
19 map<ll,ll>w;
20 ll lcm(ll a,ll b)
21 {
22 ll ans=min(a,b);
23 while(ans)
24 {
25 if(a%ans==0 && b%ans==0) break;
26 ans--;
27 }
28 return (a*b)/ans;
29 }
30 ll dfs(ll pos,ll sum,ll sta,bool limit)
31 {
32 if(sta==0)return 0;
33 if(pos==-1)
34 {
35 return sum%sta==0;
36 }
37 if(!limit && dp[pos][sum][w[sta]]!=-1) return dp[pos][sum][w[sta]];
38 ll up=limit?v[pos]:9;
39 ll tmp=0;
40 for(ll i=0;i<=up;++i)
41 {
42 if(i>0)
43 {
44 tmp+=dfs(pos-1,(sum*10+i)%mod,lcm(sta,i),limit && i==v[pos]);
45
46 }
47 else tmp+=dfs(pos-1,(sum*10+i)%mod,sta,limit && i==v[pos]);
48 }
49 if(!limit) dp[pos][sum][w[sta]]=tmp;
50 //只有上界为9的时候才会往dp数组里面存,因为这样能节省更多的时间
51 return tmp;
52 }
53 ll solve(ll ans)
54 {
55 ll pos=0;
56 while(ans)
57 {
58 v[pos++]=ans%10;
59 ans/=10;
60 }
61 return dfs(pos-1,0,1,true);
62 }
63 int main()
64 {
65 ll t,l,r,m=0;
66 scanf("%I64d",&t);
67 for(ll i=1;i<=mod;++i)
68 {
69 if(mod%i==0)
70 {
71 ++m;
72 w[i]=m;
73 }
74 }
75 memset(dp,-1,sizeof(dp));
76 while(t--)
77 {
78 scanf("%I64d%I64d",&l,&r);
79 printf("%I64d\n",solve(r)-solve(l-1));
80 }
81 w.clear();
82 return 0;
83 }
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