洛谷P6075题解
首先这 \(n\) 个数是互相独立的,所以我们不需要统一的去考虑,只需要考虑其中一个数即可。
我们以 \(k=5\) 的情况举例。
我设 \(f_i\) 为最后一行只填前 \(i\) 个点的情况数, \(g_i\) 为 \(k=i\) 时总共的情况数。
显然, \(f_0\) 就是 \(g_{k-1}\) ,在这里就是 \(g_4\) 。
然后 \(f_1\) 其实就是图中黑色部分一定填,白色一定不填,红色部分可选的种类数。进一步观察,这个红色部分其实就是 \(g_3\) 。
再进一步由图可以得到, \(f_2=g_2,f_3=g_1\) 。
再往下, \(f_4\) 和 \(f_5\) 都没得选了,所以 \(f_4=f_5=1\) 。
为了下面讲述方便,我们设 \(f_4=g_0=1\) 。
那么我们已经得到了 \(g_5=\sum^5_{i=1}f_i\) ,那么我们可以推广到其他数,可知 \(g_k=\sum^k_{i=1}f_i\)
再进一步观察,当 \(k=5\) 时, \(f_0=g_4,f_1=g_3,f_2=g_2,f_3=g_1,f_4=g_0\) ,
所以 \(g_5=\sum^5_{i=1}f_i=\sum^4_{i=1}g_{4-i}+f_5=\sum^4_{i=1}g_i+1\) 。
推广到其他数,可知 \(g_k=\sum^{k-1}_{i=1}g_i+1\)
那么我们可以根据 \(g_0=1\) 推出 \(g_1=2,g_2=4,g_3=8\) 。
观察规律,可以发现 \(g_i=2^i\) 。
如何证明呢?我们使用数学归纳法。
首先当 \(i=0\) 时,\(g_0=1=2^0\) ,结论成立。
再假设 \(i=k\) 时,结论已成立,那么 \(g_{k+1}=\sum^{k}_{i=1}g_i+1=\sum^{k-1}_{i=1}g_i+1+g_k\) ,而 \(\sum^{k-1}_{i=1}g_i+1=g_k\) ,所以 \(g_{k+1}=\sum^{k-1}_{i=1}g_i+1+g_k=2\times g_k=2\times 2^k=2^{k+1}\) ,所以 \(i=k+1\) 时仍然成立。
所以我们就证明出了 \(g_i=2^i\) 。
回到最开始。我们有 \(n\) 个数,每个数有 \(g_k=2^k\) 种选择,那么根据乘法原理,总计的选择数就是 \(2^{nk}\) 。用快速幂算一下即可。代码就不贴了。
最新文章
- htmlnav
- 基于 Redis 数据累计的实现
- spring注解方式 idea报could not autowire,eclipse却没有问题
- iOS 发布应用时屏蔽NSLog
- 2017-5-31 VBA设置config sheet 制作工具
- JavaScript 第一课
- (五)超级猜图Demo引出的细节
- linux下查看动态链接库so文件的依赖的相关组建
- C++实现 电子邮件客户端程序(简易版)
- PCL法线估计
- ASP.NETAutocomplete control
- [VBScript] 自动删除2小时以前生成的文件
- Centos 7 安装Zabbix
- 【Unity笔记】UGUI物体的渲染顺序
- CCFlow工作流程起航
- 查看嵌入式设备的CPU频率
- 第三方库RATreeView的使用记录
- 线程同步工具 Semaphore类的基础使用
- Struts1之bean标签
- 时间服务器: NTP 服务器及客户端搭建