Codeforces 785D - Anton and School - 2 - [范德蒙德恒等式][快速幂+逆元]
题目链接:https://codeforces.com/problemset/problem/785/D
题解:
首先很好想的,如果我们预处理出每个 "(" 的左边还有 $x$ 个 "(",以及右边有 $y$ 个 ")",那么就有式子如下:
① 若 $x+1 \le y$:$C_{x}^{0} C_{y}^{1} + C_{x}^{1} C_{y}^{2} + \cdots + C_{x}^{x} C_{y}^{x+1} = \sum_{i=0}^{x} C_{x}^{i} C_{y}^{i+1}$
② 若 $x+1 > y$:$C_{x}^{0} C_{y}^{1} + C_{x}^{1} C_{y}^{2} + \cdots + C_{x}^{y-1} C_{y}^{y} = \sum_{i=0}^{y-1} C_{x}^{i} C_{y}^{i+1}$
然后算一下,哦哟 $O(n^2)$ 的优秀算法,GG,想了半天也不知道咋优化,看了题解才知道是“范德蒙德恒等式”:
$\sum_{i=0}^{r} C_{m}^{i} C_{n}^{r-i} = C_{m+n}^{r}$
以及它的一个推导等式:
$\sum_{i=0}^{m} C_{m}^{i} C_{n}^{r+i} = C_{m+n}^{m+r}$
① 直接用推导等式可以得到:
$\sum_{i=0}^{x} C_{x}^{i} C_{y}^{i+1} = C_{x+y}^{x+1}$
而 ② 则用范德蒙德恒等式得到:
$\sum_{i=0}^{y-1} C_{x}^{i} C_{y}^{i+1} = \sum_{i=0}^{y-1} C_{x}^{i} C_{y}^{y-1-i} = C_{x+y}^{y-1}$
综上,就变成了:对于每个 "(",假设其左边还有 $x$ 个 "(",右边有 $y$ 个 ")",那么对于答案的贡献:
① 若 $x+1 \le y$,则为 $C_{x+y}^{x+1}$
② 若 $x+1 > y$,则为 $C_{x+y}^{y-1}$
只要预处理出阶乘和阶乘的逆元,那么每次算 $C_{n}^{r}$ 就是 $O(1)$ 的。
AC代码:
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
const ll mod=1e9+;
const int maxn=2e5+; char s[maxn];
int n,x[maxn],y[maxn]; ll fpow(ll a,ll n)
{
ll res=, base=a%mod;
while(n)
{
if(n&) res*=base, res%=mod;
base*=base, base%=mod;
n>>=;
}
return res%mod;
}
ll inv(ll a){return fpow(a,mod-);} ll fac[maxn],fac_inv[maxn];
ll C(ll n,ll r)
{
ll res=fac[n];
res*=fac_inv[r], res%=mod;
res*=fac_inv[n-r], res%=mod;
return res;
} int main()
{
fac[]=, fac_inv[]=inv(fac[]);
for(int i=;i<maxn;i++) fac[i]=fac[i-]*i%mod, fac_inv[i]=inv(fac[i]); scanf("%s",s+), n=strlen(s+); x[]=;
for(int i=;i<=n;i++) x[i]=x[i-]+(s[i-]=='(');
y[n]=;
for(int i=n-;i>;i--) y[i]=y[i+]+(s[i+]==')');
//for(int i=1;i<=n;i++) printf("%d %d\n",x[i],y[i]); ll ans=;
for(int i=;i<=n;i++)
{
if(s[i]!='(') continue;
if(y[i]<=) continue;
if(x[i]+<=y[i])
ans+=C(x[i]+y[i],x[i]+), ans%=mod;
else
ans+=C(x[i]+y[i],y[i]-), ans%=mod;
}
cout<<ans<<endl;
}
最新文章
- Codevs 1021 (玛丽卡)
- Linux 容器技术史话:从 chroot 到未来
- 我的MySQL5.6免安装版配置过程
- HTTP,TCP/IP,Socket
- DataTable 基本转换简单实例
- Android界面刷新
- android zxing自定义界面,点击按钮开关闪光灯
- css3的盒子模型布局
- 1、	Linux中的root用户切换(转载)
- CDIF: 基于JSON的SOA软件框架
- JS 设计模式四 -- 模块模式
- CodeBlocks(17.12) 代码调试基础方法&;快捷方式
- Kubernetes及Dashboard详细安装配置(Ubuntu14.04)
- go.cd 自动化构建
- dom操作------获取元素的若干方法
- P1616 疯狂的采药 洛谷
- Word插入htm文件导致文本域动态增加的一个问题
- Mantle 与Injection
- java IO字节流
- Day6 重载构造