BZOJ 5093[Lydsy1711月赛]图的价值 线性做法
博主曾更过一篇复杂度为$O( k· \log k)$的多项式做法在这里
惊闻本题有$ O(k)$的神仙做法,说起神仙我就想起了于是就去学习了一波
幂与第二类斯特林数
$$ x^k=\sum_{j=0}^kj!\binom{x}{j}\begin{Bmatrix}k\\j\end{Bmatrix}$$
$$ \begin{Bmatrix}k\\j\end{Bmatrix}=\frac{1}{j!}\sum_{i=0}^ji^k\binom{j}{i}(-1)^{j-i}$$
以上是两个非常实用的公式
推式子
现在开始推式子
原博文已经推出了我们真正需要求的是$ f(n,k)=\sum\limits_{i=0}^n\binom{n}{i}i^k$
根据上面的公式可以推得
$$
\begin{aligned}
f(n,k) & =\sum_{i=0}^n\binom{n}{i}i^k=\sum_{j=0}\begin{Bmatrix}k\\j\end{Bmatrix}\frac{n!}{(n-j)!}2^{n-j}\\
& =\sum_{j=0}^k\frac{n!}{(n-j)!}2^{n-j}\frac{1}{j!}\sum_{i=0}^j(-1)^{j-i}\binom{j}{i}i^k\\
&=\sum_{j=0}^k\binom{n}{j}2^{n-j}\sum_{i=0}^j(-1)^{j-i}\binom{j}{i}i^k\\
&=\sum_{i=0}^k\binom{n}{i}i^k\sum_{j=i}^k2^{n-j}(-1)^{j-i}\binom{n-i}{j-i}\\
&=\sum_{i=0}^k\binom{n}{i}i^k2^{n-i}\sum_{j=0}^{k-i}\binom{n-i}{j}(-\frac{1}{2})^j
\end{aligned}
$$
我们需要快速递推出$A(i)=\displaystyle\sum_{j=0}^{k-i}\binom{n-i}{j}(-\frac{1}{2})^j$
再推波式子得
$$
\begin{aligned}
\sum_{j=0}^{k-i}\binom{n-i}{j}(-\frac{1}{2})^j&=\sum_{j=0}^{k-i}\left(\binom{n-i-1}{j}+\binom{n-i-1}{j-1}\right)(-\frac{1}{2})^j\\
&=\sum_{j=1}^{k-i}(-\frac{1}{2})^j\binom{n-i-1}{j-1}+\sum_{j=0}^{k-i}(-\frac{1}{2})^j\binom{n-i-1}{j}\\
&=-\frac{1}{2}\sum_{j=0}^{k-i-1}(-\frac{1}{2})^j\binom{n-i-1}{j}+\sum_{j=0}^{k-i}(-\frac{1}{2})^j\binom{n-i-1}{j}\\
&=\frac{1}{2}\sum_{j=0}^{k-i-1}(-\frac{1}{2})^j\binom{n-i-1}{j}+(-\frac{1}{2})^{k-i}\binom{n-i-1}{k-i}
\end{aligned}
$$
因此$A(i)=\frac{1}{2}A(i+1)+(-\frac{1}{2})^{k-i}\binom{n-i-1}{k-i}$
就假装推完了
大常数代码
#include<ctime>
#include<cmath>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<queue>
#define p 998244353
#define inv2 499122177
#define rt register int
#define ll long long
using namespace std;
inline ll read(){
ll x = ; char zf = ; char ch = getchar();
while (ch != '-' && !isdigit(ch)) ch = getchar();
if (ch == '-') zf = -, ch = getchar();
while (isdigit(ch)) x = x * + ch - '', ch = getchar(); return x * zf;
}
void write(ll y){if(y<)putchar('-'),y=-y;if(y>)write(y/);putchar(y%+);}
void writeln(const ll y){write(y);putchar('\n');}
int i,j,k,m,n,x,y,z,cnt;
int ksm(int x,int y=p-){
int ans=;
for(rt i=y;i;i>>=,x=1ll*x*x%p)if(i&)ans=1ll*ans*x%p;
return ans;
}
int inv[],A[];
int v[],ss[];bool b[];
int main(){
n=read()-;k=read();
inv[]=inv[]=;
v[]=;v[]=(k==);
for(rt i=;i<=k;i++){
if(!b[i])ss[++cnt]=i,v[i]=ksm(i,k);
for(rt j=;i*ss[j]<=k&&j<=cnt;j++){
b[i*ss[j]]=;v[i*ss[j]]=1ll*v[i]*v[ss[j]]%p;
if(i%ss[j]==)break;
}
}
for(rt i=;i<=k;i++)inv[i]=1ll*inv[p%i]*(p-p/i)%p;
int ans=;
if(n<=k){
for(rt i=,c=;i<=n;c=1ll*(n-i)*inv[i+]%p,i++)
ans+=1ll*c*v[i]%p;
cout<<(1ll*ans*(n+)%p*ksm(,(ll)n*(n-)/%(p-))%p+p)%p;
return ;
} A[k]=;
for(rt i=k-,y=-inv2,c=n-i-;i>=;i--,y=1ll*y*-inv2%p){
A[i]=(1ll*A[i+]*inv2%p+1ll*c*y%p)%p;
c=1ll*c*(n-i)%p*inv[k-i+]%p;
} for(rt i=,d=ksm(,n),c=;i<=k&&i<=n;c=1ll*c*(n-i)%p*inv[i+]%p,i++,d=1ll*d*inv2%p)
(ans+=1ll*c*v[i]%p*d%p*A[i]%p)%=p;
cout<<(1ll*ans*(n+)%p*ksm(,(ll)n*(n-)/%(p-))%p+p)%p;
return ;
}
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