[SHOI2013]阶乘字符串

题目描述

给定一个由前$n$个小写字母组成的串$S$。

串$S$是阶乘字符串当且仅当前$n$个小写字母的全排列（共$n!$种）都作为$S$的子序列（可以不连续）出现。

由这个定义出发，可以得到一个简单的枚举法去验证，但是它实在太慢了。所以现在请你设计一个算法，在$1$秒内判断出给定的串是否是阶乘字符串。

输入格式

输入第$1$行一个整数$T$，表示这个文件中会有$T$组数据。

接下来分$T$个块，每块$2$行：

第$1$行一个正整数$n$，表示$S$由前$n$个小写字母组成。

第$2$行一个字符串$S$。

输出格式

对于每组数据，分别输出一行。每行是$YES$或者$NO$，表示该数据对应的串$S$是否是阶乘字符串。

样例输入

2

2

bbaa

2

aba

样例输出

NO

YES

【样例解释】

第一组数据中，ab这个串没有作为子序列出现。

数据范围

\[N \leq 26 \\\\
T \leq 5 \\\\
|S| \leq 450 \\\\
\]

解题报告

题意理解

这道题目,有一点点绕? 可能是我太菜了

我们初步读题可知,题目要求我们判断一个字符串.

给你一个$N$,如果说一个字符串满足$N$的全排列字符串

而且这些字符串,都以序列的形式出现在这个字符串,那么我们称之为合法,否则不合法.

算法解析

这道题目运用的是.状态压缩DP.

首先我们思考一下,这道题目$N \leq 26$,这个数据范围似乎不太好状态压缩?

数据太大了....

但是我们发现,其实$N \ge 21$,完全可以判断无解.

这是为什么,有证明吗?

当$n \ge 21$的时候

假设$|S| = 450$

在|S|中任意取21个数字

$ C(450, 21) < 21！$

说明这$450$个字符不能完全凑成$n!$个序列。

接下来我们着重分析一下,状态压缩思想.

我们知道状态压缩其实就是 集合二进制枚举 处理.

那么既然如此,我们不妨设置一下 状态表示.

状态是一个集合
题目要求 全排列合法
一般题目中,总会有 最后一位,也就是转移过来的元素

设$f[S]$表示当$S$中集合中的字母构成的排列均在原序列$[1,f[S]]$出现的最小值。

既然如此的话.

我们不妨预处理一下.

$g[i][j]$表示从$i$开始下一个字母$j$出现的位置。

总而言之,我们就是利用 刷表法则,一步步推导状态.

因此我们不妨设置核心程序.

for(int S=1; S<(1<<n); S++)//枚举子集

{

	int cnt=0;

	for(int i=0; i<n; i++)

		if(S & (1<<i) ) //s集合拥有这一位,其实也就是i结尾

			cnt=max(cnt,g[f [S^(1<<i) ]][i] );//排除这一位,然后转移过来

	f[S]=cnt;//更新

}

代码解析

#include <bits/stdc++.h>

using namespace std;

const int N=460;

#define read(x) scanf("%d",&x)

int t,n,m,g[N][32],f[1<<21];

char s[N];

inline void init()

{

	read(t);

	while(t--)

	{

		read(n);

		scanf("%s",s+1);//默认读入从1开始

		m=strlen(s+1);

		if (n>21)//特殊判定无解情况

		{

			puts("NO");

			continue;

		}

		for(int i=m+1; i>=0; i--)//从i开始下一个j出现的位置

		{

			for(int j=0; j<n; j++)

				g[i][j]=( i>=m ? m+1 : g[i+1][j] ); //前面的位置,最近的是当前这位的

			if(i!=m)

				g[i][ s[i+1]-'a' ]=i;//当前位为最近的

		}

		for(int S=1; S<(1<<n); S++)//枚举子集

		{

			int cnt=0;

			for(int i=0; i<n; i++)

				if(S & (1<<i) ) //s集合拥有这一位,其实也就是i结尾

					cnt=max(cnt,g[f [S^(1<<i) ]][i] );//排除这一位,然后转移过来

			f[S]=cnt;//更新

		}

		printf("%s\n",f[ (1<<n)-1 ] <=m ? "YES":"NO" );//是否存在

	}

}

int main()

{

	init();

	return 0;

}

巴特西