【NOIP2013模拟联考7】OSU
【NOIP2013模拟联考7】OSU
描述
Description
osu 是一款群众喜闻乐见的休闲软件。
我们可以把osu的规则简化与改编成以下的样子:
一共有n次操作,每次操作只有成功与失败之分,成功对应1,失败对应0,n次操作对应为一个长度为n的01串。在这个串中连续的x个1可以贡献x^3的分数,这x个1不能被其他连续的1所包含(也就是极长的一串1,具体见样例解释)
现在给出n,以及每个操作的成功率,请你输出期望分数,输出四舍五入后保留1位小数。Input
输入文件osu.in的第一行有一个正整数n,表示操作个数。接下去n行每行有一个[0,1]之间的实数,表示每个操作的成功率。
Output
输出文件osu.out只有一个实数,表示答案。答案四舍五入后保留1位小数。
Sample Input
3
0.5
0.5
0.5Sample Output
6.0
【样例说明】
000分数为0,001分数为1,010分数为1,100分数为1,101分数为2,110分数为8,011分数为8,111分数为27,总和为48,期望为48/8=6.0
Data Constraint
30%的数据 n<=20
60%的数据 n<=1000
100%的数据 n<=100000
分析
30分做法:暴力乱搞
60分做法:
设fi表示i选0的期望。设an+1=0
从fj转移到fi时,(j,i)这段区间都要选1,两端要选0。
fj已经算过它选0的概率的,不用再算一遍。
时间复杂度O(n2)
100分做法:
设第i次操作时,前面末尾1的长度为x
选0:对答案的贡献为0
选1:对答案的贡献为((x+1)3−x3)pi
设E(x3)=∑k3∗Px=k
那么E((x+1)3)=∑(k+1)3∗Px=k
展开E((x+1)3),将E(x3)代入之,得E((x+1)3)=E(x3)+3E(x2)+3E(x)+E(1)
然后类似地,维护E(x2),E(x)。
具体见程序
代码
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
using namespace std;
double cube(int x){return (double)x*x*x;}
int n;
double ans;
double g1[100001],g2[100001];
int main()
{
freopen("osu.in","r",stdin);
freopen("osu.out","w",stdout);
scanf("%d",&n);
int i;
double a;
for (i=1;i<=n;++i)
{
scanf("%lf",&a);
g1[i]=(g1[i-1]+1)*a;
g2[i]=(g2[i-1]+2*g1[i-1]+1)*a;
ans+=(3*g2[i-1]+3*g1[i-1]+1)*a;
}
printf("%.1lf",ans);
return 0;
}
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