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对于\(x\in[1,n]\)求\(x\)点强联通竞赛图中的哈密顿回路的期望个数膜\(998244353\)。

\(n\le10^5\)

sol

首先\(n\)点竞赛图中的哈密顿回路总共有\(\frac{n!2^{\binom n2-n}}{n}\)条。

（本质不同的有\(\frac{n!}{n}\)条，每条都存在于\(2^{\binom n2-n}\)个图内）

所以问题在于如何求\(n\)点强联通竞赛图的个数。

考虑一个\(O(n^2)\)的\(dp\)，设\(f_i\)表示\(i\)个点的强联通竞赛图个数。

同时设\(g_i\)表示\(i\)个点的竞赛图个数，显然\(g_i=2^{\binom n2}\)。

转移时枚举拓扑序最小的强联通分量的大小。

\[f_i=g_i-\sum_{j=1}^{i-1}f_j\times\binom ij\times g_{i-j}
\]

然后用分治\(FFT\)可以做到两只\(\log\)。

这里讲一种生成函数的做法。

把转移式移项可得：

\[g_i=\sum_{j=1}^{i}f_j\times \binom ij\times g_{i-j}
\]

两边同除以\(i!\)：

\[\frac{g_i}{i!}=\sum_{j=1}^{i}\frac{f_j}{j!}\times\frac{g_{i-j}}{(i-j)!}
\]

令：\(F(x)=\sum_{i=0}^{n}\frac{f_i}{i!}x^i,G(x)=\sum_{i=0}^{n}\frac{g_i}{i!}x^i,C(x)=\sum_{i=1}^{n}\frac{g_i}{i!}x^i\)

（注意\(G(x)\)和\(C(x)\)的区别）

那么\(F(x)G(x)=C(x)\)，所以\(F(x)=\frac{C(x)}{G(x)}\)

多项式求逆即可，复杂度\(O(n\log n)\)。

code

#include<cstdio>

#include<algorithm>

#include<cstring>

using namespace std;

const int N = 8e5+5;

const int mod = 998244353;

int n,jc[N],jcn[N],f[N],g[N],h[N],rev[N],og[N];

int fastpow(int a,int b){

	int res=1;

	while (b) {if (b&1) res=1ll*res*a%mod;a=1ll*a*a%mod;b>>=1;}

	return res;

}

void ntt(int *P,int opt,int len){

	int l=0;while((1<<l)<len)++l;--l;

	for (int i=0;i<len;++i) rev[i]=(rev[i>>1]>>1)|((i&1)<<l);

	for (int i=0;i<len;++i) if (i<rev[i]) swap(P[i],P[rev[i]]);

	for (int i=1;i<len;i<<=1){

		int W=fastpow(3,(mod-1)/(i<<1));

		if (opt==-1) W=fastpow(W,mod-2);

		og[0]=1;for (int j=1;j<i;++j) og[j]=1ll*og[j-1]*W%mod;

		for (int p=i<<1,j=0;j<len;j+=p)

			for (int k=0;k<i;++k){

				int x=P[j+k],y=1ll*og[k]*P[j+k+i]%mod;

				P[j+k]=(x+y)%mod,P[j+k+i]=(x-y+mod)%mod;

			}

	}

	if (opt==-1) for (int i=0,Inv=fastpow(len,mod-2);i<len;++i) P[i]=1ll*P[i]*Inv%mod;

}

int A[N],B[N];

void GetInv(int *a,int *b,int len){

	if (len==1) {b[0]=fastpow(a[0],mod-2);return;}

	GetInv(a,b,len>>1);

	for (int i=0;i<len;++i) A[i]=a[i],B[i]=b[i];

	ntt(A,1,len<<1);ntt(B,1,len<<1);

	for (int i=0;i<(len<<1);++i) A[i]=1ll*A[i]*B[i]%mod*B[i]%mod;

	ntt(A,-1,len<<1);

	for (int i=0;i<len;++i) b[i]=((b[i]+b[i])%mod-A[i]+mod)%mod;

	for (int i=0;i<(len<<1);++i) A[i]=B[i]=0;

}

int main(){

	scanf("%d",&n);

	jc[0]=1;

	for (int i=1;i<=n;++i) jc[i]=1ll*jc[i-1]*i%mod;

	jcn[n]=fastpow(jc[n],mod-2);

	for (int i=n;i;--i) jcn[i-1]=1ll*jcn[i]*i%mod;

	int len=1;while (len<=(n<<1)) len<<=1;

	for (int i=0;i<=n;++i) f[i]=h[i]=1ll*fastpow(2,1ll*i*(i-1)/2%(mod-1))*jcn[i]%mod;

	GetInv(f,g,len);

	for (int i=n+1;i<len;++i) f[i]=g[i]=0;h[0]=0;

	ntt(g,1,len);ntt(h,1,len);

	for (int i=0;i<len;++i) g[i]=1ll*g[i]*h[i]%mod;

	ntt(g,-1,len);printf("1\n-1\n");

	for (int i=3;i<=n;++i){

		g[i]=1ll*g[i]*jc[i]%mod;

		int res=1ll*jc[i]*fastpow(2,(1ll*i*(i-1)/2-i)%(mod-1))%mod*fastpow(i,mod-2)%mod;

        printf("%d\n",1ll*res*fastpow(g[i],mod-2)%mod);

	}

	return 0;

}

巴特西

[Luogu4233]射命丸文的笔记

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sol

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