BZOJ 3994: [SDOI2015]约数个数和

3994: [SDOI2015]约数个数和

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Description

设d(x)为x的约数个数，给定N、M，求

Input

输入文件包含多组测试数据。

第一行，一个整数T，表示测试数据的组数。

接下来的T行，每行两个整数N、M。

Output

T行，每行一个整数，表示你所求的答案。

Sample Input

2
7 4
5 6

Sample Output

110
121

HINT

1<=N, M<=50000

1<=T<=50000

Source

Round 1 感谢yts1999上传

分析：

首先$d(x)$是一个积性函数，其次这个东西有一个很神奇的性质：

$d(nm)=\sum _{x\mid n} \sum _{y\mid m} [gcd(x,y)==1]$

证明如下：(懒得写了...公式打起来好麻烦...直接摘抄Sengxian的解释...QwQ)

于是接下来就直接莫比乌斯反演就好了...

$\sum _{x=1}^{n} \sum _{y=1}^{m} \left \lfloor \frac{n}{x} \right \rfloor \left \lfloor \frac{m}{y} \right \rfloor \sum _{d\mid x d\mid y}\mu (d)$

$=\sum _{d=1}^{x} \mu(d) \sum _{i=1}^{\frac {n}{d}} \left \lfloor \frac{n}{id} \right \rfloor \sum _{j=1}^{\frac {m}{d}} \left \lfloor \frac{m}{jd} \right \rfloor$

现在有一个有用的公式：

$\left \lfloor \frac{n}{xy} \right \rfloor=\left \lfloor \frac{ \left \lfloor \frac{n}{x} \right \rfloor }{y} \right \rfloor$

于是乎，我们定义$f(x)=\sum _{i=1}^{x} \left \lfloor \frac{x}{i} \right \rfloor$，

那么式子就变成酱紫：

$\sum _{d=1}^{n} \mu(d) f(\left \lfloor \frac{n}{d} \right \rfloor) f(\left \lfloor \frac{m}{d} \right \rfloor)$

时间复杂度：$O(N\sqrt{N}+T\sqrt{N})$

代码：

#include<algorithm>

#include<iostream>

#include<cstring>

#include<cstdio>

//by NeighThorn

using namespace std;

const int maxn=50000+5;

int n,m,cas,cnt,mu[maxn],pri[maxn],vis[maxn];

long long ans,f[maxn];

inline long long calc(int x){

	long long res=0;

	for(int i=1,r;i<=x;i=r+1){

		r=x/(x/i);

		res+=(x/i)*(r-i+1);

	}

	return res;

}

inline void prework(void){

	mu[1]=1;

	for(int i=2;i<=50000;i++){

		if(!vis[i])

			vis[i]=1,pri[++cnt]=i,mu[i]=-1;

		for(int j=1;j<=cnt&&i*pri[j]<=50000;j++){

			vis[i*pri[j]]=1;

			if(i%pri[j]==0){

				mu[i*pri[j]]=0;break;

			}

			mu[i*pri[j]]=-mu[i];

		}

	}

	for(int i=1;i<=50000;i++) mu[i]+=mu[i-1],f[i]=calc(i);

}

signed main(void){

	scanf("%d",&cas);prework();

	while(cas--){

		scanf("%d%d",&n,&m);

		if(n>m) swap(n,m);ans=0;

		for(int i=1,r;i<=n;i=r+1){

			r=min(n/(n/i),m/(m/i));

			ans+=f[n/i]*f[m/i]*(mu[r]-mu[i-1]);

		}

		printf("%lld\n",ans);

	}

	return 0;

}

By NeighThorn

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