BZOJ4350: 括号序列再战猪猪侠

Description

括号序列与猪猪侠又大战了起来。

众所周知，括号序列是一个只有(和)组成的序列，我们称一个括号

序列S合法，当且仅当:

1.( )是一个合法的括号序列。

2.若A是合法的括号序列，则(A)是合法的括号序列。

3.若A，B是合法的括号序列，则AB是合法的括号序列。

我们考虑match[i]表示从左往右数第i个左括号所对应的是第几个右

括号，现在他得到了一个长度为2n的括号序列，给了你m个信息，第i

个信息形如ai,bi，表示match[ai]<match[bi]，要你还原这个序列。

但是你发现这个猪猪侠告诉你的信息，可能有多个括号序列合法；甚

至有可能告诉你一个不存在合法括号序列的信息！

你最近学了取模运算，你想知道答案对998244353(7*17*2^23+1)取

模的结果，这个模数是一个质数。

Input

第一行一个正整数T,T< = 5，表示数据组数。

对于每组数据，第一行一个n,m，n表示有几个左括号，m表示信息数。

接下来m行，每行两个数ai,bi，1< = ai,bi< = n。

Output

对于每组数据，输出一个数表示答案。

Sample Input

5
1 0
5 0
3 2
1 2
2 3
3 2
2 1
2 3
3 3
1 2
2 3
3 1

Sample Output

1
42
1
2
0

HINT

对于前两个点，是卡特兰数的情况。

对于第三个点，合法的情况只可能是 ()()()。

对于第四个点，合法情况可能是 (()()) 或者 (())()、

对于第五个点，由于拓扑关系形成了环，显然无解。

对于 100% 的数据，保证 n < = 300

题解：如果match[ai]<match[bi]，那么为了序列能合法，若ai<bi,ai所对应的右括号也一定在bi的左边，若ai>bi，ai和它所对应的右括号，一定被bi所对应的的括号包在中间，我们来考虑一下括号有几种可能吧，很显然有（AB），（）AB，{AB（）可看做同种情况},(A)B,这三种方案，我们枚举一个区间的左括号，f[i][j]表示第i个左括号到第j个左括号能形成多少种方案。

1.如果要符合上面的第一种方案，那么很明显第i个左括号和它对应的右括号不能完全在AB的左边，即第i个左括号对第i+1到j之间的左括号不能有任何一个被提出过match[i]<match[i+1~j]，如果符合的话我们就加上f[i+1][j]。

2.如果要符合第二种方案，那么第i个左括号和它对应的右括号必须完全在AB的左边，即第i个左括号对第i+1到j之间的左括号必须每个都被提出过match[i]<match[i+1~j]，等同于第i+1~j之间的括号对第i个括号没有被提出过match[i+1~j]<match[i],如果符合的话我们就加上f[i+1][j]。

3.如果要符合第三种我们就要进行枚举了，因为我们不知道B序列最右边的左括号是总序列中的第几个括号。枚举一个k来表示A中的最后一个左括号，则B中的开头左括号为k+1，我们要如何满足这种条件呢？有两个注意点，（1）.k+1到j的括号必须全部都在i~k括号的右边。（2）.i+1~k括号必须包含在第i个括号中，即第i个括号不能在他们的右边。

只要满足注意点，它的方案数就可加上两边的乘积。

最最重要的一点来了，我们如何去判断括号在左边右边呢？不要说去一个个枚举。。。我们用一个s数组来储存关系，若match[ai]<match[bi],则s[ai][bi]赋值为1，反之，赋值为0，假设我们现在需要第a~b个左括号全部都在第c~d个括号包括对应的右括号的右边就是说任何一个s[ai~bi][ci~di]都需要为0，那么实际上我们只要知道一个左上角为a,b，右下角为c,d的矩阵中的元素为0，就可以了。那么判断的时候我们只需要用矩阵前缀和就可以用O(1)的复杂度算出矩阵的值从而判断左右关系。

大概就是这样了，具体程序看吧。

#include<iostream>

#include<cstdio>

#include<cstring>

#include<cstdlib>

#include<algorithm>

using namespace std;

int j,n,m,t,x,y,s[][];

long long f[][];//一定要记得开long long，否则。。。

int kk=;

int check(int a,int b,int c,int d)

{

    return (s[c][d]-s[c][b-]-s[a-][d]+s[a-][b-]);

}

void work()

{

        memset(s,,sizeof(s));//记得清空

    memset(f,,sizeof(f));

    cin>>n>>m;

    for (int i=;i<=m;i++)

    {

      cin>>x>>y;

      s[x][y]=;//记录对应的关系

    }

    for (int i=;i<=n;i++)

     for (int j=;j<=n;j++)

     s[i][j]=s[i][j]+s[i-][j]+s[i][j-]-s[i-][j-];//矩阵前缀和

    for (int i=;i<=n;i++)

    if (check(i,i,i,i)==)//如果自身对自身有所限制的话，那么这种情况是不存在的，可以直接输出0.

    {

        printf("0\n");

        return;

    }

    for (int i=;i<=n;i++) f[i][i]=;//构成单个括号的可能性只有一种

    for (int len=;len<=n;len++)

     for (int i=;i<=n-len+;i++)

     {

         j=i+len-;

         if (check(i,i+,i,j)==) f[i][j]=(f[i][j]+f[i+][j])%kk;

         if (check(i+,i,j,i)==) f[i][j]=(f[i][j]+f[i+][j])%kk;

         for (int k=i+;k<=j-;k++)

         if ((check(k+,i,j,k)==)&&(check(i,i+,i,k)==))

         f[i][j]=(f[i][j]+f[i+][k]*f[k+][j]%kk)%kk;//这个程序中解释过了

     }

    cout<<f[][n]<<endl;

}

int main()

{

  cin>>t;

  for (int i=;i<=t;i++) //多组输入数据

  work();

  return ;

}

巴特西