同余方程 (codevs1200)
2024-09-08 06:36:01
题目描述×××
求关于 x 的同余方程 ax ≡ 1 (mod b)的最小正整数解。
输入输出格式×××
输入格式:
输入只有一行,包含两个正整数 a, b,用一个空格隔开。
输出格式:
输出只有一行,包含一个正整数 x0,即最小正整数解。输入数据保证一定有解。
输入输出样例
输入样例#1:
3 10
输出样例#1:
7
说明
【数据范围】
对于 40%的数据,2 ≤b≤ 1,000;
对于 60%的数据,2 ≤b≤ 50,000,000;
对于 100%的数据,2 ≤a, b≤ 2,000,000,000。
NOIP 2012 提高组 第二天 第一题
思路:
这个题与扩展欧几里得求逆元有密切的联系
巧了,题目中的式子正是我们喜闻乐见的求逆元的形式a*x≡1(mod m)
x称为a关于模m的乘法逆元
我们可以将上面那个逆元的式子转化成这个样子
a*x+m*y=1
如果在x与m互质的情况下,这不就是一个扩展欧几里得的基本式子吗(gcd(a,m)=1),所以说,这又在gcd(a,m)=1的时候逆元才有整数解,直接套入扩展欧几里得,会得到一组 x, y,然后
x=x % m
y=y % m
就能得到最小解了,因为这个式子:
x=x0+m*t
y=y0+m*t
于是对于这个题,我们只需把这对特殊解x0求出来,然后向它加m直到x0>0
#include<iostream>
#include<cstdio>
using namespace std;
void gcd(int a,int b,int &x,int &y)
{
if(b==)
{
x=;y=;
return;
}
gcd(b,a%b,x,y);
int temp=x;
x=y;
y=temp-(a/b)*y;
return;
}
int main()
{
int a,b,x,y;
scanf("%d%d",&a,&b);
gcd(a,b,x,y);
while(x<=)x+=b;
cout<<x;
return ;
}
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