(noip模拟十七)【BZOJ3930】[CQOI2015]选数-容斥水法
2024-08-31 11:22:50
Description
我们知道,从区间[L,H](L和H为整数)中选取N个整数,总共有(H-L+1)^N种方案。小z很好奇这样选出的数的最大公约数的规律,他决定对每种方案选出的N个整数都求一次最大公约数,以便进一步研究。然而他很快发现工作量太大了,于是向你寻求帮助。你的任务很简单,小z会告诉你一个整数K,你需要回答他最大公约数刚好为K的选取方案有多少个。由于方案数较大,你只需要输出其除以1000000007的余数即可。
Input
输入一行,包含4个空格分开的正整数,依次为N,K,L和H。
Output
输出一个整数,为所求方案数。
Sample Input
2 2 2 4
Sample Output
3
HINT
1<=N,K<=10^9
1<=L<=R<=10^9
H-L<=10^5
题解:
听说这是正经的题解。。。
然而这个高端解法并没有用到题目中“H-L<=10^5”的条件,而利用这个条件,我们可以想出一个时间和代码复杂度都非常优秀的算(shui)法:(主要是因为我不会杜教筛)
先证明一个结论:选出的数的最大公约数肯定比选出的数中最大值和最小值的差小;
证明很容易,设最大公约数为$d$,最大值为$dk_1$,最小值为$dk_2$,那么$$max-min=dk_1-dk_2=d(k_1-k_2)>d$$
题目非常良心的给出$H-L\leq 10^5$,即$d<10^5$,因此就可以枚举$d$,然后容斥判重即可。
容斥:$f_i=sum-\sum\limits_{i|j}f_j$
注意$k$在区间$[L,H]$中时要判断选出的数全相同的情况!
代码实测4ms,写了杜教筛的学长跑了130多ms……
#include<algorithm>
#include<iostream>
#include<cstring>
#include<cstdio>
#include<cmath>
#define mod 1000000007
using namespace std;
typedef long long ll;
ll n,k,l,h,s,f[],ans=;
ll fastpow(ll x,ll y){
ll ret=;
for(;y;y>>=,x=x*x%mod){
if(y&)ret=ret*x%mod;
}
return ret;
}
int main(){
scanf("%lld%lld%lld%lld",&n,&k,&l,&h);
if(l<=k&&k<=h)ans++;
l=(l-)/k;
h/=k;
s=h-l;
for(int i=s;i>=;i--){
ll L=l/i,R=h/i,ss=R-L;
if(ss>){
f[i]=(fastpow(ss,n)-ss+mod)%mod;
for(int j=i*;j<=s;j+=i)f[i]=(f[i]-f[j]+mod)%mod;
}
}
printf("%lld",f[]+ans);
return ;
}
最新文章
- HashMap两种遍历方式的深入研究
- 关于UIScrollerView的基本用法和代理
- MongoDB学习笔记—权限管理
- asp.net中membership使用oracle数据库(二)
- MySQL中的两种临时表
- C++ 函数返回数组指针的问题
- HDU 1532 最大流模板题
- 【Unity3D游戏开发】性能优化之spine提高80~90%的效率 (三一)
- SharePoint 2010 master page 控件介绍(3) :页面主体内容
- 查询可用的Nuget服务地址
- 激光推送SSL问题
- mysql忘记密码的处理方式(整理非原创)
- SQLServer 2008 R2 清空日志文件
- phpcmsv9更改fckeditor编者ueditor编辑
- python的xlwt模块的常用方法
- 【转】How to append current date and timestamp to filename in shell script
- SA 后缀数组
- linux下播放组播流出现setsockopt:No such device错误
- Effective Java 第三版——64. 通过对象的接口引用对象
- UVALive 4850 Installations 贪心