LA 4998简单加密游戏 —— 自相似性质&&不动点迭代
2024-08-26 13:21:10
题意
输入正整数 $K_1$($K_1 \leq 50000$),找一个12为正整数 $K_2$(不能含有前导0)使得 ${K_1}^{K_2} \equiv K_2(mod \ {10}^{12})$。例如 $K_1=99$,$K_2=817 \ 245\ 479\ 899\ $.
分析
1、利用自相似性质
如果 ${K_1}^{K_2} \equiv K_2(mod \ {10}^{12})$,那么有 ${K_1}^{K_2 \% {10}^i} \equiv K_2\% {10}^i(mod \ {10}^{i}), \ i \leq 12$.
因此可以dfs从后往前一位一位得到。
考虑到不能含有前导0,可以求到13位,并要求大于等于1e12,答案再模1e12,这样就不会出现前导0.
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std; typedef long long ll;
const ll mod = 1e12;
ll K1, K2;
ll w[], ans; ll quickmul(ll a,ll b,ll mod) {
ll ite = (1LL<<)-;
return (a*(b>>)%mod*(1ll<<)%mod+a*(b&(ite))%mod)%mod;
} ll qpow(ll a, ll b, ll mod)
{
ll ret = ;
while(b)
{
if(b&) ret = quickmul(ret, a, mod);
a = quickmul(a, a, mod);
b >>= ;
}
return ret;
} bool dfs(int cur, ll now)
{
if(cur == )
{
if(now >= w[]){ans = now; return true;}
return false;
}
ll W = w[cur];
for(int i = ;i <= ;i++)
{
ll tmp = W*i + now;
if(qpow(K1, tmp, W) == (tmp%W))
{
if(dfs(cur+, tmp)) return true;
}
}
return false;
} int main()
{
int kase = ;
w[] = ;
for(int i = ;i < ;i++) w[i] = w[i-] * ;
while(scanf("%lld", &K1) == &&K1)
{
dfs(, );
printf("Case %d: Public Key = %lld Private Key = %lld\n", ++kase, K1, ans%mod);
}
}
2、不动点迭代
初始时随机选取一个超过10^12的数,如1000000000007,将其代入计算,如果f(x)!=x,那么令x=f(x),如此循环,能在短时间内找出合法解。
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std; typedef long long ll;
const ll mod = 1e12;
ll K1, K2; ll quickmul(ll a,ll b,ll mod) {
ll ite = (1LL<<)-;
return (a*(b>>)%mod*(1ll<<)%mod+a*(b&(ite))%mod)%mod;
} ll qpow(ll a, ll b, ll mod)
{
ll ret = ;
while(b)
{
if(b&) ret = quickmul(ret, a, mod);
a = quickmul(a, a, mod);
b >>= ;
}
return ret;
} int main()
{
int kase = ;
while(scanf("%lld", &K1) == &&K1)
{
K2 = 1e11+;
while(qpow(K1, K2, mod) != K2%mod) K2 = qpow(K1, K2, mod);
printf("Case %d: Public Key = %lld Private Key = %lld\n", ++kase, K1, K2);
}
}
参考链接:
1. http://www.bubuko.com/infodetail-587732.html
2. https://blog.csdn.net/w4149/article/details/77750279
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