【2018.10.20】noip模拟赛Day3 二阶和

今年BJ省选某题的弱化版……

这看起来就没那么难了，有几种方法维护，这里提两种。

维护一维&二维前缀和。

对于一个长度为$m$的序列$b_1,b_2,...,b_m$，

由于二维前缀和$=b_1*m+b_2*(m-1)+...+b_m*1$，

每一项都和$m$有关系，而$m$可以是任意子区间的长度，于是很不好维护。

我们可以解除这些数与$m$的关系，最简单的方法就是把它们反过来维护。

我们已经维护了一维前缀和（即$b_1 to b_m$的和），

所以我们可以反过来维护 $b_1*0+b_2*1+...+b_m*(m-1)$ 的和，二维前缀和就是$(b_1+b_2+...+b_m)*m-[b_1*0+b_2*1+...+b_m*(m-1)]$。

这样就有一个全局维护的方法能够解除每个数与$m$的直接关系，而只跟每个数本身的位置$-1$有关系，即线段树维护每个区间$[l,r]$的一维前缀和 $b_l+b_{l+1}+...+b_r$ 与二维前缀和 $b_l*(l-1)+b_2*l+...+b_m*(r-1)$。

然后我还写了对拍，包括最终测评数据在内，所有$n,m\le 5000$的数据都过了……我没理解啊……

因为测了大数据$n,m=100000$后我就WA上天了（基本上没有跟标答一致的输出）。

后来浪费时间查了好久，发现增加线段树上的二维前缀和时，求等差数列 $(l-1)+l+...+(r-1)$ 的和的通项公式中有个$÷2$，而除法不能随便取模（被除数和除数中任意组成部分都不能取模）……

应该是这么写 $((((ll)(l-1+r-1)*(r-l+1))>>1)\%mod)$

我是这么写的 $((((ll)(l-1+r-1)*(r-l+1)\%mod)>>1)$

数学没学好$=GG$

改完就差不多了吧。

也可以把除以$2$改成乘$2$的逆元，这样两边就可以随便取模了。$2$的逆元也比较简单，就是$\frac{mod+1}{2}$。

换一种反过来维护的方式。

我们考虑当一个数

巴特西