CF1179D Fedor Runs for President [DP，斜率优化]

Codeforces

思路

考虑把连的那两个点中间的链提出来，那么就会变成一条链，链上的每个点挂着一棵子树的形式。

设那些子树的大小为\(S_1,S_2,\cdots\)，那么新加的简单路径个数就是

\[\frac 1 2 (n^2-\sum S^2)
\]

很容易理解：任意两个点，只要不在同一棵子树内，就会多一条路径。

那么就可以树形DP：设\(dp_x\)表示从\(x\)向下连的一条链，\(\sum S^2\)的最小值，也很容易转移。

但是统计答案，也就是把两条链连在一起的时候，怎么办呢？

考虑合并\(x,y\)的链，他们的子树大小为\(size_x,size_y\)，那么有

\[ans=dp_x+dp_y+(n-size_x-size_y)^2
\]

把括号拆开之后容易看出是一个斜率优化的形式，乱搞即可。

那么问题来了：这种题是怎么搞到难度2600的？

代码

#include<bits/stdc++.h>

clock_t t=clock();

namespace my_std{

    using namespace std;

    #define pil pair<int,ll>

    #define fir first

    #define sec second

    #define MP make_pair

    #define rep(i,x,y) for (int i=(x);i<=(y);i++)

    #define drep(i,x,y) for (int i=(x);i>=(y);i--)

    #define go(x) for (int i=head[x];i;i=edge[i].nxt)

    #define templ template<typename T>

    #define sz 505050

    typedef long long ll;

    typedef double db;

    mt19937 rng(chrono::steady_clock::now().time_since_epoch().count());

    templ inline T rnd(T l,T r) {return uniform_int_distribution<T>(l,r)(rng);}

    templ inline bool chkmax(T &x,T y){return x<y?x=y,1:0;}

    templ inline bool chkmin(T &x,T y){return x>y?x=y,1:0;}

    templ inline void read(T& t)

    {

        t=0;char f=0,ch=getchar();double d=0.1;

        while(ch>'9'||ch<'0') f|=(ch=='-'),ch=getchar();

        while(ch<='9'&&ch>='0') t=t*10+ch-48,ch=getchar();

        if(ch=='.'){ch=getchar();while(ch<='9'&&ch>='0') t+=d*(ch^48),d*=0.1,ch=getchar();}

        t=(f?-t:t);

    }

    template<typename T,typename... Args>inline void read(T& t,Args&... args){read(t); read(args...);}

    char __sr[1<<21],__z[20];int __C=-1,__zz=0;

    inline void Ot(){fwrite(__sr,1,__C+1,stdout),__C=-1;}

    inline void print(register int x)

    {

        if(__C>1<<20)Ot();if(x<0)__sr[++__C]='-',x=-x;

        while(__z[++__zz]=x%10+48,x/=10);

        while(__sr[++__C]=__z[__zz],--__zz);__sr[++__C]='\n';

    }

    void file()

    {

        #ifdef NTFOrz

        freopen("a.in","r",stdin);

        #endif

    }

    inline void chktime()

    {

        #ifndef ONLINE_JUDGE

        cout<<(clock()-t)/1000.0<<'\n';

        #endif

    }

    #ifdef mod

    ll ksm(ll x,int y){ll ret=1;for (;y;y>>=1,x=x*x%mod) if (y&1) ret=ret*x%mod;return ret;}

    ll inv(ll x){return ksm(x,mod-2);}

    #else

    ll ksm(ll x,int y){ll ret=1;for (;y;y>>=1,x=x*x) if (y&1) ret=ret*x;return ret;}

    #endif

//	inline ll mul(ll a,ll b){ll d=(ll)(a*(double)b/mod+0.5);ll ret=a*b-d*mod;if (ret<0) ret+=mod;return ret;}

}

using namespace my_std;

int n;

struct hh{int t,nxt;}edge[sz<<1];

int head[sz],ecnt;

void make_edge(int f,int t)

{

	edge[++ecnt]=(hh){t,head[f]};

	head[f]=ecnt;

	edge[++ecnt]=(hh){f,head[t]};

	head[t]=ecnt;

}

ll dp[sz];

int size[sz];

ll ans=1e18;

#define v edge[i].t

#define Sqr(x) (1ll*(x)*(x))

inline db K(pil a,pil b){return 1.0*(b.sec-a.sec)/(b.fir-a.fir);}

void dfs(int x,int fa)

{

	vector<pil>V;size[x]=1;

	go(x) if (v!=fa)

	{

		dfs(v,x);

		V.push_back(MP(size[v],dp[v]-2ll*n*size[v]+Sqr(size[v])));

		size[x]+=size[v];

	}

	dp[x]=Sqr(size[x]);

	go(x) if (v!=fa) chkmin(dp[x],dp[v]+Sqr(size[x]-size[v]));

	if (!V.size()) return;

	sort(V.begin(),V.end());

	vector<pil>con;con.push_back(V[0]);int top=0;

	rep(i,1,(int)V.size()-1)

	{

		while (top&&K(con[top],con[top-1])>-2*V[i].fir) --top,con.pop_back();

		chkmin(ans,con[top].sec+V[i].sec+2ll*con[top].fir*V[i].fir+Sqr(n));

		if (V[i].fir==V[i-1].fir) continue;

		while (top&&K(con[top],con[top-1])>=K(con[top-1],V[i])) --top,con.pop_back();

		con.push_back(V[i]);++top;

	}

}

int main()

{

    file();

	int x,y;

	read(n);

	rep(i,1,n-1) read(x,y),make_edge(x,y);

	dfs(1,0);chkmin(ans,dp[1]);

	ll Ans=(Sqr(n)-ans)/2+1ll*n*(n-1)/2;

	cout<<Ans;

	return 0;

}

其他解法

参见 XZZ大佬的博客： https://www.cnblogs.com/xzz_233/p/11070827.html

并没有看懂他干了什么，可能有一些玄妙的结论……

巴特西

CF1179D Fedor Runs for President [DP，斜率优化]

思路

代码

其他解法

最新文章

热门文章