lucas定理和组合数学

自湖南长沙培训以来的坑。。。一直未填，今天把这个问题解决掉。

参考：

一、lucas定理的定义

$\binom{n}{k}\mod p=(\binom{\frac{n}{p}}{\frac{k}{p}}*\binom{n\mod p}{k\mod p})\mod p$ (当且仅当p为质数)

很简短，下面看看应用和相关题目。

题目描述：求 C(n,0)+C(n,1)+...+C(n,k)mod2333

推到过程：

易得，

原式=C(n/2333,0)∗C(nmod2333,0)+C(n/2333,0)∗C(nmod2333,1)+...+C(n/2333,k/2333)∗C(nmod2333,kmod2333) mod 2333

也就是将原式中的各个mod 2333项拆分成两项再总体mod 2333

同类项合并，分两种部分考虑：

设k=k1*2333+k2 (0≤k1,k2)

1)对于k1部分

先考虑k1=0的情况，可以得出这些乘积的各个首项是C(n/2333,0)，将其提出得到C(n/2333,0)*∑C(n%2333,i)(其中i∈[0,2333])

考虑k1=1的情况，可得C(n/2333,1)*∑C(n%2333,i)(其中i∈[0,2333])

考虑k1=2的情况，可得C(n/2333,2)*∑C(n%2333,i)(其中i∈[0,2333])

···　　···　　···　　···　　···　　···

提公因式→→→∑C(n/2333,j)*∑C(n%2333,i)(其中i∈[0,2333],j∈[0,k1))

重复3遍

∑C(n/2333,j)*∑C(n%2333,i)(其中i∈[0,2333],j∈[0,k1))

吼，各位就等了，看看k2部分吧

2）对于k2部分

原式=C(n/2333,k1)*C(n%2333,0)+C(n/2333,k1)*C(n%2333,1)+······+C(n/2333,k1)*C(n%2333,k%2333)

=C(n/2333,k1)*(∑C(n%2333,i))(其中i∈[0,k%2333])

综上，ans=∑C(n/2333,j)*∑C(n%2333,i)(其中i∈[0,2333],j∈[0,k1))+C(n/2333,k1)*(∑C(n%2333,i))(其中i∈[0,k%2333])

说了这么多，那么这个定理的用法是什么？

显然是递归求解组合数的模数咯～

所以对于这道题，我们先预处理出一个S(n,k)=∑C(n,i) (i∈[0,k]) （当然最后都是mod p意义下的），ans=S(n%2333,2332)*(∑C(n/2333,j)) (j∈[0,k1)) + C(n/2333,k1)*S(n%2333,k%2333)

ans中的S()一定可以用二维的东西在规定时空内求出，而∑C(n/2333,j)就是我们超能粒子炮`改的子问题，递归求解即可，另，C(n/2333,k1)也可以用lucas定理递归来解

于是这道题就口头ac了。