[实变函数]5.2 非负简单函数的 Lebesgue 积分
1 设 $$\bex \phi(x)=\sum_{i=1}^j c_i\chi_{E_i}(x),\quad c_i\geq 0, \eex$$
其中 $$\bex E_i\mbox{ 可测},\quad E_i\mbox{ 两两不交},\quad E=\cup_{i=1}^j E_i, \eex$$
则定义 $$\bex \int_E \phi(x)\rd x=\sum_{i=1}^j c_i\cdot mE_i. \eex$$
若 $A(\subset E)$ 可测, 则定义 $$\bex \int_A\phi(x)\rd x=\sum_{i=1}^j c_i\cdot m(E_i\cap A). \eex$$
2 例: $\dps{D(x)=\sedd{\ba{ll} 1,&x\in\bbQ,\\ 0,&x\in\bbR\bs \bbQ \ea}}$ 的积分为 $$\bex \int_{\bbR}D(x)\rd x =1\cdot m(\bbQ)+0\cdot m(\bbR\bs \bbQ)=0. \eex$$
3 性质: 设 $\phi(x),\psi(x)$ 为非负简单函数, 则
(1) 正齐次性 $$\bex c\geq 0\ra \int_Ec\phi(x)\rd x =c\int_E \phi(x)\rd x. \eex$$
证明: $$\beex \bea \int_Ec\phi(x)\rd x =\sum_{i=1}^j cc_i\cdot mE_i =c\sum_{i=1}^j c_i\cdot mE_i =c\int_E\phi(x)\rd x. \eea \eeex$$
(2) 有限可加性 $$\bex \int_E[\phi(x)+\psi(x)]\rd x =\int_E \phi(x)\rd x +\int_E \psi(x)\rd x. \eex$$
证明: $$\beex \bea &\quad \phi(x)=\sum_{i=1}^j c_i\chi_{E_i},\quad \psi(x)=\sum_{k=1}^l d_k\chi_{F_k}\\ &\ra \phi(x)+\psi(x) =\sum_{i=1}^j \sum_{k=1}^l (c_i+d_k)\chi_{E_i\cap F_k}\\ &\ra \int_E[\phi(x)+\psi(x)]\rd x =\sum_{i=1}^j \sum_{k=1}^l (c_i+d_k)\cdot m(E_i\cap F_k)\\ &\qquad\qquad\qquad \ \ = \sum_{i=1}^j c_i\sum_{k=1}^l m(E_i\cap F_k) +\sum_{k=1}^l d_k\sum_{i=1}^jm(E_i\cap F_k)\\ &\qquad\qquad\qquad \ \ =\sum_{i=1}^j c_i\cdot mE_i +\sum_{k=1}^l d_k\cdot mF_k\\ &\qquad\qquad\qquad \ \ = \int_E\phi(x)\rd x +\int_E\psi(x)\rd x. \eea \eeex$$
(3) 对积分区域的有限可加性 $$\bex A,B(\subset E)\mbox{ 可测}\ra \int_{A\cup B}\phi(x)\rd x =\int_A\phi(x)\rd x +\int_B\phi(x)\rd x. \eex$$
证明: $$\beex \bea \int_{A\cup B}\phi(x)\rd x &=\sum_{i=1}^j c_i\cdot m(E\cap(A\cup B))\\ &=\sum_{i=1}^j c_i \cdot [m(E\cap A)+m(E\cap B)]\\ &\quad\sex{\mbox{在可测集 }A\mbox{ 的定义中取试验集 }T=E\cap (A\cap B)}\\ &=\int_A\phi(x)\rd x +\int_B\phi(x)\rd x. \eea \eeex$$
(4) 单增积分区域的极限 $$\bex A_i(\subset E)\mbox{ 单增}\ra \lim_{i\to\infty}\int_{A_i}\phi(x)\rd x =\int_{\lim_{i\to\infty}A_i}\phi(x)\rd x. \eex$$
证明: $$\beex \bea \lim_{i\to\infty}\int_{A_i}\phi(x)\rd x &=\lim_{i\to\infty}\sum_{i=1}^j c_i\cdot m(E\cap A_i)\\ &=\sum_{i=1}^jc_i\cdot m \sex{E\cap \lim_{i\to\infty}A_i}\\ &=\int_{\lim_{i\to\infty}A_i}\phi(x)\rd x. \eea \eeex$$
4 作业: Page 132 T 2.
最新文章
- MSSQLSERVER执行计划详解
- Altium Designer PCB双面板制作打印操作步骤
- Yii源码阅读笔记(十八)
- ruby sass Encoding::CompatibilityError for changes
- 问题-[delphi2007、2010]无法二次启动,报EditorLineEnds.ttr被占用,进程一直有bds.exe?
- Nginx平台构架 分类: Nginx 2015-07-13 10:55 205人阅读 评论(0) 收藏
- php函数serialize()与unserialize()
- svn小技巧——重定向svn diff
- redolog
- 大容量XFS异常处理
- 21.C++- ";++";操作符重载、隐式转换之explicit关键字、类的类型转换函数
- HDU 2174 Bridged Marble Rings
- 痞子衡嵌入式:一表全搜罗常见移动通信标准(1-5G, GSM/GPRS/CDMA/LTE/NR...)
- js清除childNodes中的#text(选项卡中会用到获取第一级子元素)
- laravel 解决session保存不了,取不出的问题
- 14:IO之字符字节流
- (6)sudo命令详解(每周一个linux命令系列)
- VUE简单组件通信
- selenium 浏览器常用设置和部署
- springcloud中Feign配置详解
热门文章
- Ubuntu安装Mysql+Django+MySQLdb
- IOS中打开应用实现检查更新的功能
- SysTick 定时器的使用
- java编程之:Unsafe类
- android:id=";@+id/button1"; 与 android:id=";@id/button1"; 区别 @string
- 浅拷贝,深拷贝---ios
- 【C++11】30分钟了解C++11新特性
- timestamp 与 rowversion
- js里的setTimeout和setInterval之后的页面是空白,阻塞浏览器的document对象,但是不阻塞script方法
- 使用Ef时,对一个或多个实体的验证失败。有关详细信息,请参见“EntityValidationErrors”属性。