LG4071 [SDOI2016]排列计数
题意
题目描述
求有多少种长度为 n 的序列 A,满足以下条件:
1 ~ n 这 n 个数在序列中各出现了一次
若第 i 个数 A[i] 的值为 i,则称 i 是稳定的。序列恰好有 m 个数是稳定的
满足条件的序列可能很多,序列数对 109+710^9+7109+7 取模。
输入输出格式
输入格式:
第一行一个数 T,表示有 T 组数据。
接下来 T 行,每行两个整数 n、m。
输出格式:
输出 T 行,每行一个数,表示求出的序列数
输入输出样例
说明
测试点 1 ~ 3: T=1000T = 1000 T=1000,n≤8 n \leq 8 n≤8,m≤8 m \leq 8 m≤8;
测试点 4 ~ 6: T=1000T = 1000 T=1000,n≤12 n \leq 12 n≤12,m≤12 m \leq 12 m≤12;
测试点 7 ~ 9: T=1000T = 1000 T=1000,n≤100 n \leq 100 n≤100,m≤100 m \leq 100 m≤100;
测试点 10 ~ 12:T=1000 T = 1000 T=1000,n≤1000 n \leq 1000 n≤1000,m≤1000 m \leq 1000 m≤1000;
测试点 13 ~ 14:T=500000 T = 500000 T=500000,n≤1000 n \leq 1000 n≤1000,m≤1000 m \leq 1000 m≤1000;
测试点 15 ~ 20:T=500000 T = 500000 T=500000,n≤1000000 n \leq 1000000 n≤1000000,m≤1000000 m \leq 1000000 m≤1000000。
分析
选出哪些元素固定,剩下的就是错排问题。
错排数递推公式:
D_n=(n-1)(D_{n-1}+D_{n-2}) \quad n\ge 2
\]
答案为
\]
时间复杂度\(O(n+T)\)
代码
#include<bits/stdc++.h>
#define rg register
#define il inline
#define co const
template<class T>il T read(){
rg T data=0,w=1;rg char ch=getchar();
while(!isdigit(ch)) {if(ch=='-') w=-1;ch=getchar();}
while(isdigit(ch)) data=data*10+ch-'0',ch=getchar();
return data*w;
}
template<class T>il T read(rg T&x) {return x=read<T>();}
typedef long long ll;
co int N=1e6+1,mod=1e9+7;
int num[N]={1,1},inv[N]={1,1},f[N]={1,0};
il int mul(int x,int y){return (ll)x*y%mod;}
int main(){
// freopen(".in","r",stdin),freopen(".out","w",stdout);
for(int i=2;i<N;++i){
num[i]=mul(num[i-1],i);
inv[i]=mul(mod-mod/i,inv[mod%i]);
f[i]=mul(i-1,f[i-1]+f[i-2]);
}
for(int i=2;i<N;++i) inv[i]=mul(inv[i-1],inv[i]);
for(int t=read<int>(),n,m;t--;){
read(n),read(m);
printf("%d\n",mul(num[n],mul(inv[n-m],mul(inv[m],f[n-m]))));
}
return 0;
}
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