xdoj-1243 (费马平方和问题)
1243: CKJ老师爱数学
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题目描述
众所周知,CKJ老师非常热爱数学,他对于方程组的有自己的独到的研究,today,他抛给了你一个too simple的方程组x^2+y^2=z^2,z是一个已给的正整数,然后他毫不客气地问你,这个方程组的整数解有几个?
输入
包含一个整数T表示输入数据组数,
接下来T行每行一个整数z(z<=2000 000 000)
输出
每行一个整数表示方程组的解的个数
样例输入
1
4
样例输出
4
---------------------------------------------------------------------------------------------
自认为这是xdoj上思考最多的一道题: 网上好像有这样题的公式,但做题最要的不是理解学习心得知识吗。
首先我贴出一些知识点:
1) 定理 1 x2 + y2 = z2 的互質整數解為 x=2uv, y=u2-v2, , 其中 u, v 是任意互質整數,且 u, v 不同時為奇數。
證明 1 令 x, y, z 是互質正整數,且 x2 + y2 = z2。若 x 與 y 都是奇數,則 z 是偶數。故 x2 + y2 是 4l+2 的型式,z2 是 4l' 的型式(l 與 l' 是整數)。矛盾。
因此,不妨假定 x 是偶數,y 與 z 是奇數。
由 x2 = z2 - y2 = (z+y) (z-y),令 x=2r, z-y = 2s, z+y = 2t。得 r2 = st。
s 與 t 互質,因 y 與 z 互質。但 st 是完全平方。故 s=u2 , t=v2。得證。
网址链接:http://episte.math.ntu.edu.tw/articles/mm/mm_07_4_01/page3.html
2)定理二:费马平方和定理 奇质数能表示为两个平方数之和的充分必要条件是该素数被4除余1。
3)定理三: (a^2+b^2)*(c^2+d^2)==(ac+bd)^2+(ad-bc)^2
网址链接: https://zh.wikipedia.org/wiki/%E8%B4%B9%E9%A9%AC%E5%B9%B3%E6%96%B9%E5%92%8C%E5%AE%9A%E7%90%86
问题解决:
1 借助定理1 将x^2+y^2=z^2 转化为 x^2+y^2=n 有多少整数解
2 每个整数解我们可以看出是由本原解组成(三个数互质)【 3,4,5】是,而【6,8,10】不是
3 z=p1^k1*p2^k2*....pn^kn
根据定理二 对于每个素数pk且满足pk%4==1 一个本原解 a^2+b^2==pk
对于每一个素数要么可以充当本原解的组成,要么组成解的因子
所以对于每一个因子可以有(2*sum+1) 种选择
eg (z==25 sum=2 有五种选择
1+4=5; 解得x=5^2*(2*u*v)=4*25=100; y=25*(u^2-v*2)=75;【一个5是因子,一个5组成本原解】
3^2+4^2=25 解得y=2uv=24; x=u*2-v*2=7; 【两个5都是本原解】
两个解调换位置 4个解
25全部作为因子 1个解
)
4 根据定理三 两个本原解可以合并乘一个本原解 所以不同因子之间是相乘关系
一共有 ans=∏ (2*pk+1)-1 本原解 【 减一是排除所有素数作为因子】
考虑正负号 ans*=4
再加上四个点 sum=ans+4; 【端点我们不认为是本原解】
#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<iostream>
using namespace std;
typedef long long LL;
const LL N=1e6+;
LL p[N+];
int main ()
{
for (LL i=;i<=N;i++) {
if (!p[i]) p[++p[]]=i;
for (LL j=;j<=p[]&&i*p[j]<=N;j++) {
p[i*p[j]]=;
if (i%p[j]==) break;
}
}
int T;
scanf ("%d",&T);
while (T--) {
LL x;
scanf("%lld",&x);
LL i=;
LL ans=;
while (p[i]*p[i]<=x) {
LL sum=;
if (x%p[i]==) {
while (x%p[i]==) {
sum++;
x=x/p[i];
}
if (p[i]%==)
ans=ans*(*sum+);
}
i++;
}
if(x!=&&(x%==)) ans=ans*;
printf("%lld\n",(ans-)*+);
}
return ;
}
这完全是我自己的理解,可能存在说的不清晰地方或者不严谨,请
多多指教;
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