矩阵取数问题(dp,高精)
题目描述
帅帅经常跟同学玩一个矩阵取数游戏:对于一个给定的n×mn \times mn×m的矩阵,矩阵中的每个元素ai,ja_{i,j}ai,j均为非负整数。游戏规则如下:
- 每次取数时须从每行各取走一个元素,共nnn个。经过mmm次后取完矩阵内所有元素;
- 每次取走的各个元素只能是该元素所在行的行首或行尾;
- 每次取数都有一个得分值,为每行取数的得分之和,每行取数的得分 = 被取走的元素值×2i\times 2^i×2i,其中iii表示第iii次取数(从111开始编号);
- 游戏结束总得分为mmm次取数得分之和。
帅帅想请你帮忙写一个程序,对于任意矩阵,可以求出取数后的最大得分。
输入输出格式
输入格式:
输入文件包括n+1n+1n+1行:
第111行为两个用空格隔开的整数nnn和mmm。
第2∽n+12\backsim n+12∽n+1行为n×mn \times mn×m矩阵,其中每行有mmm个用单个空格隔开的非负整数。
输出格式:
输出文件仅包含111行,为一个整数,即输入矩阵取数后的最大得分。
输入输出样例
说明
NOIP 2007 提高第三题
数据范围:
60%的数据满足:1≤n,m≤301\le n, m \le 301≤n,m≤30,答案不超过101610^{16}1016
100%的数据满足:1≤n,m≤801\le n, m \le 801≤n,m≤80,0≤ai,j≤10000 \le a_{i,j} \le 10000≤ai,j≤1000
分析:这道题主要是用来练习dp ,没有涉及高精的问题,因此代码是不能AC的,但是也学习了一下dp的思想,在洛谷上能够过六个点。。。
我们用dp[i][j]代表区间变为【i,j】时,获得的最大分数当区间变为[i][j]时,一定是由【i-1,j】或者是[i,j-1]这两个符合条件的方程式中转移过来的,在第m-(j-i)-1次i取走了当前值。。。
因此状态转移方程就是 dp[i][j]=max(dp[i-1][j]+a[t][i-1]*mypow(len),dp[i][j+1]+a[t][j+1]*mypow(len));
在这要注意一下,当区间长度为1时,它是没有办法把最后一个数字取出来的。因此在这里要在重新加上。
#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<cmath>
#include<algorithm>
using namespace std;
#define INF 0x3f3f3f3f
#define ll unsigned long long
const int maxn = ;
ll mypow(int k){
ll sum=;
for(int i=; i<=k; i++ ){
sum*=;
}
return sum;
} int n,m;
ll ans=; int main(){
cin>>n>>m;
int a[maxn][maxn];
memset(a,,sizeof(a));
ll dp[maxn][maxn];
for( int i=; i<=n; i++ ){
for( int j=; j<=m; j++ ){
scanf("%d",&a[i][j]);
}
}
int t=; while(t++<n){
memset(dp,,sizeof(dp));
for( int i=; i<=m; i++ ){
for( int j=m; j>=i; j-- ){
int len =m-(j-i)-; }
}
// for( int i=1; i<=m; i++ ){
// for( int j=1; j<=m; j++ ){
// cout<<dp[i][j]<<" ";
// }
// cout<<endl;
// }
ll rev=;
int i;
for( i=; i<=m; i++ ){
ll r=dp[i][i]+a[t][i]*mypow(m);
if(r>rev) rev=r;
}
// cout<<"rev="<<rev<<endl;
ans+=rev;
}
cout<<ans<<endl;
return ;
}
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