能量采集（bzoj 2005）

Description

栋栋有一块长方形的地，他在地上种了一种能量植物，这种植物可以采集太阳光的能量。在这些植物采集能量后，

栋栋再使用一个能量汇集机器把这些植物采集到的能量汇集到一起。栋栋的植物种得非常整齐，一共有n列，每列

有m棵，植物的横竖间距都一样，因此对于每一棵植物，栋栋可以用一个坐标(x, y)来表示，其中x的范围是1至n，

表示是在第x列，y的范围是1至m，表示是在第x列的第y棵。由于能量汇集机器较大，不便移动，栋栋将它放在了

一个角上，坐标正好是(0, 0)。能量汇集机器在汇集的过程中有一定的能量损失。如果一棵植物与能量汇集机器

连接而成的线段上有k棵植物，则能量的损失为2k + 1。例如，当能量汇集机器收集坐标为(2, 4)的植物时，由于

连接线段上存在一棵植物(1, 2)，会产生3的能量损失。注意，如果一棵植物与能量汇集机器连接的线段上没有植

物，则能量损失为1。现在要计算总的能量损失。下面给出了一个能量采集的例子，其中n = 5，m = 4，一共有20

棵植物，在每棵植物上标明了能量汇集机器收集它的能量时产生的能量损失。在这个例子中，总共产生了36的能

量损失。

Input

仅包含一行，为两个整数n和m。

Output

仅包含一个整数，表示总共产生的能量损失。

Sample Input

【样例输入1】
5 4
【样例输入2】
3 4

Sample Output

【样例输出1】
36
【样例输出2】
20
对于100%的数据：1 ≤ n, m ≤ 100,000。

/*

    考虑每个点对于答案的贡献，设点为(x,y)，容易得出它对答案的贡献为gcd(x,y)*2-1。

    重点在于求出ΣΣgcd(i,j)=Σphi(i)*(n/i)*(m/i)，然后用除法分块。

*/

#include<cstdio>

#include<iostream>

#define N 100010

#define lon long long

using namespace std;

int mark[N],prime[N],phi[N],n,m,num;

lon sum[N],ans;

void get_prime(){

    phi[]=;

    for(int i=;i<N;i++){

        if(!mark[i]) prime[++num]=i,phi[i]=i-;

        for(int j=;j<=num&&i*prime[j]<N;j++){

            mark[i*prime[j]]=;

            phi[i*prime[j]]=phi[i]*(prime[j]-);

            if(i%prime[j]==){

                phi[i*prime[j]]=phi[i]*prime[j];

                break;

            }

        }

    }

    for(int i=;i<N;i++) sum[i]=sum[i-]+(lon)phi[i];

}

int main(){

    get_prime();

    scanf("%d%d",&n,&m);

    int last;

    for(int i=;i<=min(n,m);i=last+){

        last=min(n/(n/i),m/(m/i));

        ans+=(sum[last]-sum[i-])*(lon)(n/i)*(lon)(m/i);

    }

    cout<<ans*-(lon)n*m;

    return ;

}

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