【NOIP】提高组2012 国王游戏

【题意】

恰逢H国国庆，国王邀请n位大臣来玩一个有奖游戏。首先，他让每个大臣在左、右

手上面分别写下一个整数，国王自己也在左、右手上各写一个整数。然后，让这n位大臣排

成一排，国王站在队伍的最前面。排好队后，所有的大臣都会获得国王奖赏的若干金币，每

位大臣获得的金币数分别是：排在该大臣前面的所有人的左手上的数的乘积除以他自己右

手上的数，然后向下取整得到的结果。

国王不希望某一个大臣获得特别多的奖赏，所以他想请你帮他重新安排一下队伍的顺序，

使得获得奖赏最多的大臣，所获奖赏尽可能的少。注意，国王的位置始终在队伍的最前面。

【算法】贪心（排序）+高精度

【题解】这是少数不用二分解决最大值最小化问题的题。

我们考虑将所有大臣按某种条件排序，从而满足该顺序最优。

考虑当前已有排序，其中某两位置是a1,b1和a2,b2，交换两个位置不能使答案最优需要满足的条件。

显然交换两位置对前后都没有影响，假设Σai=s，所以交换后不能使答案最优须满足：

$$max(\frac{s}{b_1},\frac{sa_1}{b_2})<max(\frac{s}{b_2},\frac{sa_2}{b_1})$$

将s提出来，

$$max(\frac{1}{b_1},\frac{a_1}{b_2})<max(\frac{1}{b_2},\frac{a_2}{b_1})$$

由于ai是正整数，故我们已知：

$$\frac{1}{b_1}<\frac{a_2}{b_1} \ \ ,\ \ \frac{1}{b_2}<\frac{a_1}{b_2}$$

所以条件转化为：

$$\frac{a_1}{b_2}<\frac{a_2}{b_1}$$

即：

$$a_1b_1<a_2b_2$$

所以只要按aibi从小到大排序，一定最优。

为了找到适合排序的关键字，我们考虑某两位的交换会使排序更优的条件即可得知。

答案最大可以达到10000^1000即10^4000，要用高精度。（这是NOIP最后一次考高精度，以后不可能再考了）

#include<cstdio>

#include<algorithm>

using namespace std;

const int maxn=,maxlen=;

struct cyc{int a,b,c;}a[maxn];

int n,lens,x,lmax,lena;

int sum[maxlen],ans[maxlen],maxs[maxlen];

bool cmp(cyc a,cyc b)

{return a.c<b.c;}

void cheng(int numi)

{

    int num=a[numi].a;x=;

    for(int i=;i<=lens;i++)

     {

         x+=sum[i]*num;

         sum[i]=x%;

         x/=;

     }

    while(x>)sum[++lens]=x%,x/=;

//    printf("1...%d * lens=%d\n",numi,lens);

//    for(int i=1;i<=lens;i++)printf("%d",sum[i]);printf("\n");

}

void divs(int numi)

{

    int num=a[numi].b;x=;

    for(int i=lens;i>=;i--)

     {

         x=x*+sum[i];

         ans[i]=x/num;

         x%=num;

     }

    lena=lens;

    while(ans[lena]==&&lena>)lena--;

//    printf("1...%d-1/%d / lens=%d\n",numi,numi,lena);

//    for(int i=1;i<=lena;i++)printf("%d",ans[i]);printf("\n");

    bool f=;

    if(lena>lmax)f=;else if(lena<lmax)f=;else

     for(int i=lena;i>=;i--)

      if(ans[i]>maxs[i]){f=;break;}else if(ans[i]<maxs[i]){f=;break;}

    if(!f)

     {

         for(int i=;i<=lena;i++)maxs[i]=ans[i];

         lmax=lena;

     }

}

int main()

{

    scanf("%d",&n);

    for(int i=;i<=n+;i++)scanf("%d%d",&a[i].a,&a[i].b),a[i].c=a[i].a*a[i].b;

    sort(a+,a+n+,cmp);//for(int i=1;i<=n+1;i++)printf("%d %d\n",a[i].a,a[i].b);

    sum[(lens=)]=;cheng();maxs[(lmax=)]=;

    for(int i=;i<=n+;i++)divs(i),cheng(i);

    for(int i=lmax;i>=;i--)printf("%d",maxs[i]);

    return ;

}

巴特西

【NOIP】提高组2012 国王游戏

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