题解 NOI2004【郁闷的出纳员】

\[Preface
\]

之前用 treap 打，交了四遍才过。

自学了 fhq treap 后，才意识到是一道 fhq treap 板子题，直接码上，一遍就过。

本题解提供的是 fhq treap 做法（感谢 fhq 神犇），不太了解 fhq treap 的同学可以去了解一下 fhq treap ，挺好理解的。（至少要了解两种 split 和 merge 操作）

\[Description
\]

你需要维护一个可重集，支持 \(4\) 种操作：

I k 向集合内插入元素 \(k\) 。

A k 将集合内所有元素加上 \(k\) 。

S k 将集合内所有元素减去 \(k\) 。

F k 查询集合内第 \(k\) 大。

一共 \(n\) 次操作。

一开始给出一个下界 \(Minv\) ，表示集合内的所有元素必须大于等于 \(Minv\) ，在任何时刻，小于 \(Minv\) 的所有元素会被立刻删除。

最后还要输出被删除的元素个数。

\[Solution
\]

对于 I k 操作：

首先先判断一下 \(k\) 是否大于等于 \(Minv\) ，之后就是经典的插入操作了。

让原树按 \(k-1\) 值分裂成两棵树 \(x,y\) ，新建值为 \(k\) 的节点 \(New\) ，合并 \(x,New,y\) 。

\(~\)

对于 A k 和 S k 操作：

考虑到 " A 和 S 命令的总条数不超过 100 " ，想到了啥？暴力修改！

显然集合内的所有元素加上 \(k\) 或减去 \(k\)，fhq treap 树形态不变。

A k 操作就很好办了，集合内的所有元素加上 \(k\) 固然还是大于等于 \(Minv\) ，直接 \(dfs\) 暴力修改即可。

S k 操作之后还会导致一些元素小于 \(Minv\) ，这些元素在还没操作前是小于 \(Minv+k\) 的。

那么我们可以将原树按 \(Minv+k-1\) 值分裂成两棵树 \(x,y\) 。树 \(x\) 的所有元素在操作之后都是小于 \(Minv\) 的，那么此次被删除的元素个数即为 \(size[x]\) ，将其累加进答案，随后树 \(x\) 就没有用了，不用管它就行了。树 \(y\) 的所有元素在操作之后都是大于等于 \(Minv\) 的，直接 \(dfs\) 暴力修改，最后将树 \(y\) 当成原树就行了。

\(~\)

对于 F k 操作：

经典的查询第 \(k\) 大。

让原树按 \(size[root]-k\) 大小分裂成两棵树 \(x,y\) ，再让树 \(y\) 按 \(1\) 大小分裂成两棵树 \(y,z\) ，此时树 \(y\) 只有一个节点，这个节点就是我们要找的第 \(k\) 大了，最后记得合并回去。

当然，在 " 按大小分裂 " 上做一点小改动，或是用一般 treap 的查询第 k 大也是可以的。

\(~\)

至此，此题得到完美解决。

\[Code
\]

#include<cstdio>

#include<cstdlib>

#include<algorithm>

#define RI register int

using namespace std;

inline int read()

{

	int x=0,f=1;char s=getchar();

	while(s<'0'||s>'9'){if(s=='-')f=-f;s=getchar();}

	while(s>='0'&&s<='9'){x=x*10+s-'0';s=getchar();}

	return x*f;

}

const int N=100100;

int m,Minv;

int tot,root;

struct treap{

	int lc,rc;

	int val,dat;

	int size;

}t[N];

int New(int val)

{

	tot++;

	t[tot].lc=t[tot].rc=0;

	t[tot].val=val;

	t[tot].dat=rand();

	t[tot].size=1;

	return tot;

}

void upd(int p)

{

	t[p].size=t[t[p].lc].size+t[t[p].rc].size+1;

}

void split_v(int p,int val,int &x,int &y)

{

	if(!p)

		x=y=0;

	else

	{

		if(t[p].val<=val)

			x=p,split_v(t[p].rc,val,t[p].rc,y);

		else

			y=p,split_v(t[p].lc,val,x,t[p].lc);

		upd(p);

	}

}

void split_s(int p,int size,int &x,int &y)

{

	if(!p)

		x=y=0;

	else

	{

		if(t[t[p].lc].size<size)

			x=p,split_s(t[p].rc,size-t[t[p].lc].size-1,t[p].rc,y);

		else

			y=p,split_s(t[p].lc,size,x,t[p].lc);

		upd(p);

	}

}

int merge(int p,int q)

{

	if(!p||!q)

		return p^q;

	if(t[p].dat>t[q].dat)

	{

		t[p].rc=merge(t[p].rc,q),upd(p);

		return p;

	}

	else

	{

		t[q].lc=merge(p,t[q].lc),upd(q);

		return q;

	}

}

int x,y,z;

void insert(int val)

{

	split_v(root,val-1,x,y);

	root=New(val);

	root=merge(x,root);

	root=merge(root,y);

}

void dfs(int u,int val)

{

	if(!u)return;

	t[u].val+=val;

	dfs(t[u].lc,val),dfs(t[u].rc,val);

}

int GetValByRank(int rank)

{

	if(t[root].size<rank)

		return -1;

	split_s(root,t[root].size-rank,x,y);

	split_s(y,1,y,z);

	int ans=t[y].val;

	root=merge(x,y);

	root=merge(root,z);

	return ans;

}

int ans;

int main()

{

	m=read(),Minv=read();

	while(m--)

	{

		char op[2];scanf("%s",op);

		int val=read();

		switch(op[0])

		{

			case 'I':{

				if(Minv<=val)

					insert(val);

				break;

			}

			case 'A':{

				dfs(root,val);

				break;

			}

			case 'S':{

				split_v(root,Minv+val-1,x,root);

				ans+=t[x].size;

				dfs(root,-val);

				break;

			}

			case 'F':{

				printf("%d\n",GetValByRank(val));

				break;

			}

		}

	}

	printf("%d\n",ans);

	return 0;

}

\[Thanks \ for \ watching
\]

巴特西

题解 NOI2004【郁闷的出纳员】

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