高考数学九大超纲内容(1)wffc
2024-09-01 17:21:19
我校2016$\thicksim$2017学年度(上期)半期高三(理科)考试第12题
已知奇函数\(f(x)\)的定义域是\((-1,0)\bigcup\hspace{0.05cm}(0,1)\),\(f(\dfrac{1}{2})=0\),
当\(x>0\)时,总有\(f'(x)\cos x>2f(x)\sin x\)成立(其中\(f'(x)\)
为函数\(f(x)\)的导函数), 则不等式\(f(\log_2 x)>0\)的解集为\(\underline{\qquad\blacktriangle\qquad}.\)
【大致思路】关键的环节是构造符合\(f'(x)\cos x>2f(x)\sin x\)
的函数,如何构造呢?那么请出我们的九大金刚之“常微分方程”,
鉴于太超纲了,因此我们也不用搞清楚它的道理,只需要牢牢掌握
套路就行了。好,现在来看这种套路的过程:
\(f'(x)\cos x>2f(x)\sin x\Rightarrow f'(x)\cos x=2f(x)\sin x\)(“不等”变“等”)
\(\Rightarrow \dfrac{f'(x)}{f(x)}=\dfrac{2\sin x}{\cos x}\)("参变"分离)
\(\Rightarrow \ln f(x)=-2\ln\cos x\)(两边积分)这步最关键
\(\Rightarrow \ln f(x)=\ln\dfrac{1}{\cos^2 x}\)(“两脚穿鞋”)
\(\Rightarrow f(x)=\dfrac{1}{\cos^2 x}\)(“赤脚上阵”)
\(\Rightarrow \cos^2 x f(x)=1\)(变量归“一”)
\(\Rightarrow\)构造函数\(h(x)=\cos^2 x f(x)\)
验证:\((\cos^2 x f(x))'=\cos^2xf'(x)-2\cos x\sin xf(x)=\cos x[\cos xf'(x)-2\sin xf(x)]\)
\(\Rightarrow (\cos^2 x f(x))'>0\Rightarrow\)当\(x>0,h(x)\)单调递增
\(\Rightarrow\)当\(x>0,h(\log_2x)=\cos^2(\log_2x)f(\log_2x)>0=\cos^2(\frac{1}{2})f(\frac{1}{2})=h(\frac{1}{2})\),后面略\(.\)
哈哈!搞定!
同事余登超老师提供如下构造法:
\(\Rightarrow f'(x)\cos x-f(x)\sin x>f(x)\sin x\)
令\(F(x)=f(x)\cos x\Rightarrow F'(x)>f(x)\sin x\Rightarrow F'(x)>F(x)\dfrac{\sin x}{\cos x}\)
\(\Rightarrow F'(x)\cos x-F(x)\sin x>0\Rightarrow (F(x)\cos x)'>0\Rightarrow (f(x)\cos^2x)'>0\)
哈哈!也搞定!
【练习1】已知函数\(f(x)\)的定义域为\((0,+\infty)\),且满足\(f'(x)>(1+\dfrac{1}{x})f(x)\)和\(f(1)=1\),则不等式
\(f(x)<x\text{e}^{x-1}\)的解集为\(\underline{\qquad\blacktriangle\qquad}.\)
【练习2】已知函数\(f(x)\)的定义域为\((0,+\infty)\),且满足\(xf'(x)-2f(x)=x^3\ln x\)和\(f(\text{e})=\text{e}^2\),则函数\(f(x)\)
在\((0,+\infty)\)上\(\underline{\qquad\blacktriangle\qquad}\)
A.有极大值,无极小值
B.有极小值,无极大值
C.既有极大值,又有极小值
D.既无极大值,又无极小值
【练习3】已知函数\(f(x)\)的定义域为\((-\infty,+\infty)\),且满足\(f(1+x)+f(1-x)=0\)和\(f(2)=0\),
当\(x>1\)时,\(f'(x)+f(x)>0\),则不等式\(f(x)\ln |x-1|<0\)的解集为\(\underline{\qquad\blacktriangle\qquad}.\)
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