康拓展开 & 逆康拓展开 知识总结(树状数组优化)
2024-08-28 18:53:28
康拓展开 :
康拓展开,难道他是要飞翔吗？哈哈,当然不是了,康拓具体是哪位大叔,我也不清楚,重要的是
我们需要用到它后面的展开,提到展开,与数学相关的,肯定是一个式子或者一个数进行分解,即
展开。
到底是什么样的式子才配的上这么高大尚的名字？
其中, a[i]为整数，并且0 <= a[i] <= i, 0 <= i < n, 表示当前未出现的的元素中排第几个，这就是康托展开。
就是这样一个神奇的式子,我们发现每项后面都有一个 ！, 说明这个式子可能跟阶乘有关,跟阶乘虽然有关,但
跟递归关系可不大哦。
康托展开是一个全排列到一个自然数的双射，常用于构建hash表时的空间压缩。
设有n个数（1，2，3，4,…,n），可以有组成不同(n!种)的排列组合.
康托展开表示的就是是当前排列组合在n个不同元素的全排列中的名次
解决哪些问题？
1、全排列问题(数字排列,字符排列,and so on)
2、Hash 函数
康托展开与逆康托展开之间的关系 ?
两者是双射的关系,通俗来讲就是类似乘法和除法的关系,
比如 12345,这样一个数, 我们可以先通过乘法得到,
0 * 10 + 5 + 4 * 10 + 4 + 3 * 100 + 2 * 1000 + 1 * 10000;
同时,我们得到这个整数后也可以通过 / 10 与 % 10 进行拆分成每一个
数。(可能解释的不是十分到位,可以自己再琢磨琢磨)
康托展开怎么求呢 ？
1、通过知道一个排列,然后可以得到这个排列在全排列中的排名。
具体来说就是 : 比如 1234 ,那么 1243 再由这 4 个数中
组成的排名 是 2 (1234 如果是排名 1 的话,实际上康托展开
的排名是从 0 开始的,所以我们最后的排名的时候习惯 + 1,为
啥会是从 0 开始的,下面会进行详细的解释)
2、康托展开怎么求呢 ？
在（1，2，3，4，5）5个数的排列组合中，计算 34152的康托展开值。
首位是3，则小于3的数有两个，为1和2，a[5]=2，则首位小于3的所有排列组合为 a[5]*(5-1)!
第二位是4，则小于4的数有两个，为1和2，注意这里3并不能算，因为3已经在第一位，所以其实计算的是在第二位之后小于4的个数。因此a[4]=2
第三位是1，则在其之后小于1的数有0个，所以a[3]=0
第四位是5，则在其之后小于5的数有1个，为2，所以a[2]=1
最后一位就不用计算啦，因为在它之后已经没有数了，所以a[1]固定为0
根据公式：
X = 2 * 4! + 2 * 3! + 0 * 2! + 1 * 1! + 0 * 0! = 2 * 24 + 2 * 6 + 1 = 61
所以比 34152 小的组合有61个，即34152是排第62。
逆康托展开怎么求呢 ?
在（1，2，3，4，5）给出61可以算出起排列组合为 34152。由上述的计算过程可以容易的逆推回来，具体过程如下：
用 61 / 4! = 2余13，说明a[5]=2,说明比首位小的数有2个，所以首位为3。
用 13 / 3! = 2余1，说明a[4]=2，说明在第二位之后小于第二位的数有2个，所以第二位为4。
用 1 / 2! = 0余1，说明a[3]=0，说明在第三位之后没有小于第三位的数，所以第三位为1。
用 1 / 1! = 1余0，说明a[2]=1，说明在第二位之后小于第四位的数有1个，所以第四位为5。
最后一位自然就是剩下的数2啦。
通过以上分析，所求排列组合为 34152。
为什么康托展开的排名是从 0 开始的 ？
那 1234 来说:
1234 的康托展开为 : 0 * 3! + 0 * 2! + 0 * 1! + 0 * 0! = 0
(比 1 小的数有 0 个, 1 用掉后, 比 2 小的数也剩下 0 个,后面依次类推,得到的值是 0)
所以排名是从 0 开始的,但是我们说排名时习惯从 1 开始,所以会在最后序列得出的时候 + 1.
应用:
1、给定一个自然数集合组合一个全排列，所其中的一个排列组合在全排列中从小到大排第几位。
在上述例子中，在（1，2，3，4，5）的全排列中，34152的排列组合排在第62位。
2、反过来，就是逆康托展开，求在一个全排列中，从小到大的第n个全排列是多少。
比如求在（1，2，3，4，5）的全排列中，第62个排列组合是34152。[注意具体计算中，要先 -1 才是其康托展开的值。]
3、另外康托展开也是一个数组到一个数的映射，因此也是可用于hash，用于空间压缩。比如在保存一个序列，
我们可能需要开一个数组，如果能够把它映射成一个自然数， 则只需要保存一个整数，大大压缩空间。比如八数码问题。
参考链接:
wbin233 大佬 : https://blog.csdn.net/wbin233/article/details/72998375
Code：
康托展开:
// 阶乘
void init_fac() {
fac[0] = 1;
for(int i = 1; i <= 12; i ++) {
fac[i] = fac[i - 1] * i;
}
}
LL cantor() {
int len = strlen(a);
for(int i = 0; i < len; i ++) {
LL temp = 0;
for(int j = i + 1; j < len; j ++) {
// 找到所有未使用过的数中比当前数小的个数
if(a[j] < a[i]) temp ++;
}
res += temp * fac[len - i - 1];
}
return res + 1; // 返回排名(是从 0 开始的,所以需要 + 1)
}
树状数组优化:
/*
为什么用树状数组(线段树也可以)？
1、求前缀和
2、支持在线修改
我们可以通过预处理求取前缀和,每个数比它小的就是数量就是其 本身的值 - 1
树状数组经过预处理后 C 数组可能是这样的 :
1 2 3 4 5 6 7
那么比 3 小的个数有几个呢？实际上就是本身的前缀和 - 1即可
*/
#include <cstdio>
#include <string>
#include <cstring>
#include <iostream>
#include <algorithm>
#define MOD 998244353
using namespace std;
typedef long long LL;
const int maxn = 1e6 + 10;
int a[maxn],c[maxn];
LL fac[maxn];
LL res = 0;
int n;
int main(void) {
void add(int x,int v);
int query(int x);
void init_fac();
LL cantor();
scanf("%d",&n);
init_fac();
for(int i = 1; i <= n; i ++) {
scanf("%d",&a[i]);
// - 1 是因为排名是从 0 开始的
res = (res + query(a[i] - 1) * fac[n - i] );
add(a[i],-1); // 这个数用掉过后就不能用了,所以它后面比它大(比这些大的的小的 的数量就会 -1)
// 可能有点绕, 比如 1 2 3 4 5,用掉 2 后,后面比 3 小的数量就减少了一个
}
cout << res + 1 << endl;
return 0;
}
int lowbit(int x) {
return x & -x;
}
void add(int x,int v) {
for(int i = x; i <= n; i += lowbit(i)) {
c[i] += v;
}
return ;
}
void init_fac() {
fac[0] = 1;
for(int i = 1; i <= n; i ++) {
fac[i] = (fac[i - 1] * i);
add(i,1); // 求前缀和
}
return;
}
int query(int x) {
int res = 0;
for(int i = x; i ; i -= lowbit(i)) {
res += c[i];
}
return res;
}
逆康托展开:
void decantor(int x, int n)
{
vector<int> v; // 存放当前可选数
vector<int> a; // 所求排列组合
for(int i=1;i<=n;i++)
v.push_back(i);
for(int i=m;i>=1;i--)
{
int r = x % FAC[i-1];
int t = x / FAC[i-1];
x = r;
sort(v.begin(),v.end());// 从小到大排序
a.push_back(v[t]); // 剩余数里第t+1个数为当前位
v.erase(v.begin()+t); // 移除选做当前位的数
}
}
树状数组 + 二分 优化:
LL Check(LL l,LL r,LL aim) {
while(l < r) {
LL mid = (l + r) >> 1;
if(query(mid) - 1 >= aim) {
r = mid;
} else {
l = mid + 1;
}
}
return r;
}
void reCantor() {
pos --; // 需要先 -- (排名从 0 开始)
for(LL i = 1,num = n - 1; i <= n; num --, i ++) {
LL aim = pos / fac[num]; // 找 第 k 大的数
pos = pos % fac[num];
LL t = Check(1,n,aim);
cout << t << " ";
add(t ,-1); // 与上面的解释一样
}
cout << endl;
return ;
}
例题 :
1、Dictionary:
https://vjudge.net/problem/CSU-1828#author=0
#include <cstdio>
#include <string>
#include <cstring>
#include <iostream>
#include <algorithm>
using namespace std;
const int maxn = 12;
typedef long long LL;
char str[maxn];
LL fac[maxn];
LL res = 0;
int T;
int main(void) {
LL kangtuo();
void init_fac();
init_fac();
scanf("%d",&T);
while(T --) {
res = 0;
cin >> str;
res = kangtuo();
cout << res << endl;
}
return 0;
}
void init_fac() {
fac[1] = 1;
for(int i = 2; i <= 12; i ++) {
fac[i] = fac[i - 1] * i;
}
return ;
}
LL kangtuo() {
int len = strlen(str);
for(int i = 0; i < len; i ++) {
LL temp = 0;
for(int j = i + 1; j < len; j ++) {
if(str[j] < str[i]) temp ++;
}
res += temp * fac[len - i - 1];
}
return res + 1;
}
2、Uim的情人节礼物·其之弐
https://www.luogu.com.cn/problem/P2524
#include <cstdio>
#include <string>
#include <cstring>
#include <iostream>
#include <algorithm>
using namespace std;
const int maxn = 10;
typedef long long LL;
LL fac[maxn];
char a[maxn];
int n;
LL res = 0;
int main(void) {
void init_fac();
LL cantor();
init_fac();
cin >> n >> a;
res = 0;
res = cantor();
cout << res << endl;
return 0;
}
void init_fac() {
fac[0] = 1;
for(int i = 1; i <= 12; i ++) {
fac[i] = fac[i - 1] * i;
}
}
LL cantor() {
int len = strlen(a);
for(int i = 0; i < len; i ++) {
LL temp = 0;
for(int j = i + 1; j < len; j ++) {
if(a[j] < a[i]) temp ++;
}
res += temp * fac[len - i - 1];
}
return res + 1;
}
3、【模板】康托展开(树状数组优化)
https://www.luogu.com.cn/problem/P5367
#include <cstdio>
#include <string>
#include <cstring>
#include <iostream>
#include <algorithm>
#define MOD 998244353
using namespace std;
typedef long long LL;
const int maxn = 1e6 + 10;
int a[maxn],c[maxn];
LL fac[maxn];
LL res = 0;
int n;
int main(void) {
void add(int x,int v);
int query(int x);
void init_fac();
LL cantor();
scanf("%d",&n);
init_fac();
for(int i = 1; i <= n; i ++) {
scanf("%d",&a[i]);
res = (res % MOD + ((query(a[i] - 1)) % MOD * fac[n - i] % MOD) % MOD );
add(a[i],-1); // 用过的就不能再用了
}
cout << res + 1 << endl;
return 0;
}
int lowbit(int x) {
return x & -x;
}
void add(int x,int v) {
for(int i = x; i <= n; i += lowbit(i)) {
c[i] += v;
}
return ;
}
void init_fac() {
fac[0] = 1;
for(int i = 1; i <= n; i ++) {
fac[i] = (fac[i - 1] % MOD * i % MOD)% MOD;
add(i,1);
}
return;
}
int query(int x) {
int res = 0;
for(int i = x; i ; i -= lowbit(i)) {
res += c[i];
}
return res;
}
4、[USACO11FEB]牛线Cow Line：
https://www.luogu.com.cn/problem/P3014
(康托展开 & 逆康托展开的综合应用)
(坑不少,卡long long)
#include <cstdio>
#include <string>
#include <cstring>
#include <iostream>
#include <algorithm>
using namespace std;
typedef long long LL;
const int maxn = 100;
LL fac[maxn],c[100]; // 全部用 long long
LL a[maxn];;
LL res = 0;
LL T,n,pos;
char op;
int main(void) {
LL cantor();
void add(LL x,LL v);
void reCantor();
void init_fac();
scanf("%lld%lld",&n,&T);
while(T --) {
cin >> op;
init_fac();
if(op == 'Q') {
memset(c,0,sizeof(c));
for(LL i = 1; i <= n; i ++) {
scanf("%lld",&a[i]);
add(i,1);
}
res = 0;
res = cantor();
cout << res << endl;
} else {
memset(c,0,sizeof(c));
for(LL i = 1; i <= n; i ++) {
add(i,1);
}
scanf("%lld",&pos);
reCantor();
}
}
return 0;
}
LL lowbit(LL x) {
return x & -x;
}
void add(LL x,LL v) {
for(LL i = x; i <= n; i += lowbit(i)) {
c[i] += v;
}
return ;
}
void init_fac() {
fac[0] = 1;
for(LL i = 1; i <= n; i ++) {
fac[i] = fac[i - 1] * i;
}
return ;
}
LL query(LL x) {
LL res = 0;
for(LL i = x; i ; i -= lowbit(i)) {
res += c[i];
}
return res;
}
LL cantor() {
LL res = 0;
for(LL i = 1; i <= n; i ++) {
res += (query(a[i] - 1) * fac[n - i]);
add(a[i],-1);
}
return res + 1; // 不要忘记 + 1
}
LL Check(LL l,LL r,LL aim) {
while(l < r) {
LL mid = (l + r) >> 1;
if(query(mid) - 1 >= aim) {
r = mid;
} else {
l = mid + 1;
}
}
return r;
}
void reCantor() {
pos --;
for(LL i = 1,num = n - 1; i <= n; num --, i ++) {
LL aim = pos / fac[num]; // 找 第 k 大的数
pos = pos % fac[num];
LL t = Check(1,n,aim);
cout << t << " ";
add(t ,-1);
}
cout << endl;
return ;
}
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