【PowerOJ1738&网络流24题】最小路径覆盖问题（最大流）

题意：

思路：

【问题分析】

有向无环图最小路径覆盖，可以转化成二分图最大匹配问题，从而用最大流解决。

【建模方法】

构造二分图，把原图每个顶点i拆分成二分图X，Y集合中的两个顶点Xi和Yi。对于原图中存在的每条边(i,j)，在二分图中连接边(Xi,Yj)。然后把二分图最大匹配模型转化为网络流模型，求网络最大流。

最小路径覆盖的条数，就是原图顶点数，减去二分图最大匹配数。沿着匹配边查找，就是一个路径上的点，输出所有路径即可。

【建模分析】

对于一个路径覆盖，有如下性质：

1、每个顶点属于且只属于一个路径。

2、路径上除终点外，从每个顶点出发只有一条边指向路径上的另一顶点。

所以我们可以把每个顶点理解成两个顶点，一个是出发，一个是目标，建立二分图模型。该二分图的任何一个匹配方案，都对应了一个路径覆盖方案。如果匹配数为0，那么显然路径数=顶点数。每增加一

条匹配边，那么路径覆盖数就减少一个，所以路径数=顶点数 - 匹配数。要想使路径数最少，则应最大化匹配数，所以要求二分图的最大匹配。

注意，此建模方法求最小路径覆盖仅适用于有向无环图，如果有环或是无向图，那么有可能求出的一些环覆盖，而不是路径覆盖。

DAG的最小路径覆盖=点数-二分图最大匹配

 #include<bits/stdc++.h>

 using namespace std;

 typedef long long ll;

 typedef unsigned int uint;

 typedef unsigned long long ull;

 typedef long double ld;

 typedef pair<int,int> PII;

 typedef pair<ll,ll> Pll;

 typedef vector<int> VI;

 typedef vector<PII> VII;

 //typedef pair<ll,ll>P;

 #define N  200010

 #define M  200010

 #define INF 1e9

 #define fi first

 #define se second

 #define MP make_pair

 #define pb push_back

 #define pi acos(-1)

 #define mem(a,b) memset(a,b,sizeof(a))

 #define rep(i,a,b) for(int i=(int)a;i<=(int)b;i++)

 #define per(i,a,b) for(int i=(int)a;i>=(int)b;i--)

 #define lowbit(x) x&(-x)

 #define Rand (rand()*(1<<16)+rand())

 #define id(x) ((x)<=B?(x):m-n/(x)+1)

 #define ls p<<1

 #define rs p<<1|1

 const ll MOD=1e9+,inv2=(MOD+)/;

       double eps=1e-;

       int dx[]={-,,,};

       int dy[]={,,-,};

 int head[N],vet[N],len[N],nxt[N],dis[N],num[N][],vis[N],s,S,T,tot,n,m;

 int read()

 {

    int v=,f=;

    char c=getchar();

    while(c<||<c) {if(c=='-') f=-; c=getchar();}

    while(<=c&&c<=) v=(v<<)+v+v+c-,c=getchar();

    return v*f;

 }

 void add(int a,int b,int c)

 {

     nxt[++tot]=head[a];

     vet[tot]=b;

     len[tot]=c;

     head[a]=tot;

     nxt[++tot]=head[b];

     vet[tot]=a;

     len[tot]=;

     head[b]=tot;

 }

 bool bfs()

 {

     queue<int>q;

     rep(i,,s) dis[i]=-;

     q.push(S),dis[S]=;

     while(!q.empty())

     {

         int u=q.front();

         q.pop();

         int e=head[u];

         while(e)

         {

             int v=vet[e];

             if(len[e]>&&dis[v]==-)

             {

                 dis[v]=dis[u]+;

                 q.push(v);

             }

             e=nxt[e];

         }

     }

     return dis[T]!=-;

 }

 int dfs(int u,int aug)

 {

     if(u==T) return aug;

     int e=head[u],val=,flow=;

     while(e)

     {

         int v=vet[e];

         if(len[e]>&&dis[v]==dis[u]+)

         {

             int t=dfs(v,min(len[e],aug));

             if(!t)

             {

                 e=nxt[e];

                 continue;

             }

             flow+=t;

             aug-=t;

             len[e]-=t;

             len[e^]+=t;

             if(!aug) break;

         }

         e=nxt[e];

     }

     if(!flow) dis[u]=-;

     return flow;

 }

 void print(int u)

 {

     //printf("u=%d\n",u);

     if(u<=||u==S) return;

     printf("%d ",u);

     int e=head[u];

     while(e)

     {

         int v=vet[e];

         if(!len[e]&&v<S) print(v-n);

         e=nxt[e];

     }

 }

 int main()

 {

     n=read(),m=read();

     s=;

     rep(i,,n) num[i][]=++s;

     rep(i,,n) num[i][]=++s;

     S=++s; T=++s;

     rep(i,,s) head[i]=;

     tot=;

     while(m--)

     {

         int x=read(),y=read();

         add(num[x][],num[y][],);

     }

     rep(i,,n) add(S,num[i][],);

     rep(i,,n) add(num[i][],T,);

     int ans=n;

     while(bfs()) ans-=dfs(S,INF);

     int e=head[T];

     while(e)

     {

         int v=vet[e];

         if(len[e])

         {

             e=nxt[e];

             continue;

         }

         print(v-n);

         printf("\n");

         e=nxt[e];

     }

     printf("%d\n",ans);

     return ;

 }

巴特西

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