题意

给一个只包含\(-1,0,1\)的数列，每次操作可以让a[i]+=a[i-1]，求最少操作次数使得序列单调不降。若无解则输出BRAK。

思路

毒瘤出题人alecli！你又找紫题。 --Mercury

结论：最优解中变换之后的数列中的数字只有\(-1,0,1\)。
- 首先考虑为什么不会出现\(2\)。\(2\)的由来只能是\(1+1=2\)，而将当前位置上的\(1\)与前一位上的\(1\)相加既不会改变当前位相对于前一位已经单调不降的事实，同时会提高后面数字的大小要求，所以不使这一位上的\(1\)与前一位上的\(1\)相加显然更优。
- \(-2\)同理。
- 对于\(x\geq 3\)，既然\(2\)都不会出现，那么\(x\)更不可能出现。
- 对于\(x\leq -3\)，同理。

所以我们可以这样设计状态：设计\(f[i][3]\)表示前\(i\)位单调不下降的情况下尾数为某个数所需要的最少操作数，其中，\(f[i][0]\)表示前\(i\)位单调不下降的情况下尾数为\(-1\)所需要的最少操作数，\(f[i][1]\)表示尾数为\(0\)，\(f[i][2]\)表示尾数为\(1\)。

那么从\(f[i-1]\)转移到\(f[i]\)时就可以这么写：

f[1][a[1]+1]=0;

for(int i=2;i<=n;i++)

    if(a[i]==-1)//当前位上为-1

    {

        f[i][0]=min(f[i][0],f[i-1][0]);//上一位是-1，可以不用操作

        f[i][2]=min(f[i][2],f[i-1][2]+2);//上一位是1，操作两次把-1变成1

    }

    else if(a[i]==0)//当前位上为0

    {

        f[i][0]=min(f[i][0],f[i-1][0]+1);//上一位是-1，操作两次把0变成-1

        f[i][1]=min(f[i][1],f[i-1][0]);//上一位是-1，可以不用操作

        f[i][1]=min(f[i][1],f[i-1][1]);//上一位是0，可以不用操作

        f[i][2]=min(f[i][2],f[i-1][2]+1);//上一位是1，操作一次把0变成1

    }

    else if(a[i]==1)//当前位上为1

    {

        f[i][0]=min(f[i][0],f[i-1][0]+2);//上一位是-1，操作两次把1变成-1

        f[i][1]=min(f[i][1],f[i-1][0]+1);//上一位是-1，操作一次把1变成0

        f[i][2]=min(f[i][2],f[i-1][0]);//上一位是-1，可以不用操作

        f[i][2]=min(f[i][2],f[i-1][1]);//上一位是-1，可以不用操作

        f[i][2]=min(f[i][2],f[i-1][2]);//上一位是-1，可以不用操作

    }

这样转移下去，就能得到答案了。答案在\(f[n][0],f[n][1],f[n][2]\)中选取最小值。

AC代码

#include<bits/stdc++.h>

using namespace std;

int n,ans,a[1000005],f[1000005][3];

int read()

{

    int f=1,re=0;char ch=getchar();

    while(!isdigit(ch)){if(ch=='-')f=-1;ch=getchar();}

    while(isdigit(ch)) re=(re<<3)+(re<<1)+ch-'0',ch=getchar();

    return f*re;

}

int main()

{

    n=read();

    for(int i=1;i<=n;i++) a[i]=read();

    memset(f,0x3f,sizeof f);

    f[1][a[1]+1]=0;

    for(int i=2;i<=n;i++)

        if(a[i]==-1)

        {

            f[i][0]=min(f[i][0],f[i-1][0]);

            f[i][2]=min(f[i][2],f[i-1][2]+2);

        }

        else if(a[i]==0)

        {

            f[i][0]=min(f[i][0],f[i-1][0]+1);

            f[i][1]=min(f[i][1],f[i-1][0]);

            f[i][1]=min(f[i][1],f[i-1][1]);

            f[i][2]=min(f[i][2],f[i-1][2]+1);

        }

        else if(a[i]==1)

        {

            f[i][0]=min(f[i][0],f[i-1][0]+2);

            f[i][1]=min(f[i][1],f[i-1][0]+1);

            f[i][2]=min(f[i][2],f[i-1][0]);

            f[i][2]=min(f[i][2],f[i-1][1]);

            f[i][2]=min(f[i][2],f[i-1][2]);

        }

    ans=min(f[n][0],min(f[n][1],f[n][2]));

    if(ans!=0x3f3f3f3f) printf("%d",ans);

    else printf("BRAK");

    ///CHECK:

    ///for(int i=1;i<=n;i++) printf("\n%d %d %d",f[i][0],f[i][1],f[i][2]);

    return 0;

}

巴特西

Luogu P3558 [POI2013]BAJ-Bytecomputer(线性dp)

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