hdoj4507(数位dp)
2024-10-07 05:21:41
题目链接:https://vjudge.net/problem/HDU-4507
题意:定义如果一个整数符合下面3个条件之一,那么我们就说这个整数和7有关——
1、整数中某一位是7;
2、整数的每一位加起来的和是7的整数倍;
3、这个整数是7的整数倍;
给定l,r,求[l,r] 区间与7无关的数的平方和。
思路:这3条定义都是常规的数位dp,但题目求的并不是与7无关的数的个数,而是平方和,这也是该题的难点。这里需要数位dp维护3个值:
1. 与7无关的数的个数num;
2. 与7无关的数的和sum;
3. 与7无关的数的平方和sum;
(用结构体组织上述3个属性,假设当前求的结点是ans,当前点取i,递归得到的结点为tmp)
第1条很简单,就是常规的数位dp:
ans.num+=tmp.num;
ans.num%=Mod;
第2条需要用到第一条,求当前的所有数的和,即后面位的所有和+当前值×后面的数的个数:
ans.sum+=(tmp.sum+(i*key[pos])%Mod*tmp.num%Mod)%Mod;
ans.sum%=Mod;
第3条需要用到前2条,求当前所有数的平方和。先考虑一个数,设该数后面的位数的值为b,当前要加的值为a(a=i*key[pos]),则该数平方和为(a+b)^2=a^2+2*a*b+b^2,然后考虑对所有数的平方和,即上述式子求和tmp.num次,上述式子有3项。第一项:即a^2*tmp.num。第二项:即2*a*tmp.sum。第三项:即tmp.sqsum。
ans.sqsum+=tmp.num*i%Mod*i%Mod*key[pos]%Mod*key[pos]%Mod;
ans.sqsum%=Mod;
ans.sqsum+=*i*key[pos]%Mod*tmp.sum%Mod;
ans.sqsum%=Mod;
ans.sqsum+=tmp.sqsum;
ans.sqsum%=Mod;
还有要注意的是这道题的数据,因为num,sum,sqsum还有key[i]都可能超过Mod,所以每乘一次就要%Mod,不然会出现乘法溢出。
AC代码:
#include <cstdio>
using namespace std;
typedef long long LL;
const LL Mod=; struct node{
LL num,sum,sqsum;
}dp[][][]; int T,a[];
LL key[]; node dfs(int pos,int pre1,int pre2,bool limit){
if(pos==-){
node tmp;
tmp.num=(pre1!=&&pre2!=);
tmp.sum=tmp.sqsum=;
return tmp;
}
if(!limit&&dp[pos][pre1][pre2].num!=-)
return dp[pos][pre1][pre2];
int up=limit?a[pos]:;
node ans;
ans.num=ans.sum=ans.sqsum=;
for(int i=;i<=up;++i){
if(i==) continue;
node tmp=dfs(pos-,(pre1+i)%,(pre2*+i)%,limit&&i==a[pos]); ans.num+=tmp.num;
ans.num%=Mod; ans.sum+=(tmp.sum+(i*key[pos])%Mod*tmp.num%Mod)%Mod;
ans.sum%=Mod; ans.sqsum+=tmp.num*i%Mod*i%Mod*key[pos]%Mod*key[pos]%Mod;
ans.sqsum%=Mod;
ans.sqsum+=*i*key[pos]%Mod*tmp.sum%Mod;
ans.sqsum%=Mod;
ans.sqsum+=tmp.sqsum;
ans.sqsum%=Mod;
}
if(!limit) dp[pos][pre1][pre2]=ans;
return ans;
} LL solve(LL x){
int pos=;
while(x){
a[pos++]=x%;
x/=;
}
return dfs(pos-,,,true).sqsum;
} int main()
{
key[]=;
for(int i=;i<=;++i)
key[i]=(key[i-]*)%Mod;
for(int i=;i<;++i)
for(int j=;j<;++j)
for(int k=;k<;++k)
dp[i][j][k].num=-;
scanf("%d",&T);
while(T--){
LL l,r,ans;
scanf("%lld%lld",&l,&r);
ans=solve(r)-solve(l-);
ans=(ans%Mod+Mod)%Mod;
printf("%lld\n",ans);
}
return ;
}
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