【BZOJ3930】选数

Description

　　我们知道，从区间[L,H]（L和H为整数）中选取N个整数，总共有(H-L+1)^N种方案。小z很好奇这样选出的数的最大公约数的规律，他决定对每种方案选出的N个整数都求一次最大公约数，以便进一步研究。然而他很快发现工作量太大了，于是向你寻求帮助。

　　你的任务很简单，小z会告诉你一个整数K，你需要回答他最大公约数刚好为K的选取方案有多少个。由于方案数较大，你只需要输出其除以1000000007的余数即可。

Input

　　输入一行，包含4个空格分开的正整数，依次为N，K，L和H。

Output

　　输出一个整数，为所求方案数。

Sample Input

2 2 2 4

Sample Output

Hint

【样例解释】

　　所有可能的选择方案：(2, 2), (2, 3), (2, 4), (3, 2), (3, 3), (3, 4), (4, 2), (4, 3), (4, 4)

　　其中最大公约数等于2的只有3组：(2, 2), (2, 4), (4, 2)

【数据范围】

　　对于30%的数据，N≤5，H-L≤5

　　对于100%的数据，1≤N,K≤10^{9，1≤L≤H≤10}9，H-L≤10^5

我们先将\(r=\lfloor \frac{r}{k}\rfloor,l=\lfloor \frac{l-1}{k}\rfloor\)。

然后我们直接用套路了：\(\displaystyle\sum_{d=1}^{l}\mu(d)(\lfloor \frac{r}{k}\rfloor-\lfloor \frac{l}{k}\rfloor)^{n}\)。

然后处理\(\mu(d)\)的前缀和的时候要用杜教筛。

代码：

#include<bits/stdc++.h>

#define ll long long

#define N 10000005

using namespace std;

inline int Get() {int x=0,f=1;char ch=getchar();while(ch<'0'||ch>'9') {if(ch=='-') f=-1;ch=getchar();}while('0'<=ch&&ch<='9') {x=(x<<1)+(x<<3)+ch-'0';ch=getchar();}return x*f;}

const ll mod=1000000007;

ll n,k,l,r;

bool vis[N];

int pri[N],mu[N];

void pre(int n) {

	mu[1]=1;

	for(int i=2;i<=n;i++) {

		if(!vis[i]) {

			pri[++pri[0]]=i;

			mu[i]=-1;

		}

		for(int j=1;j<=pri[0]&&1ll*i*pri[j]<=n;j++) {

			vis[i*pri[j]]=1;

			if(i%pri[j]==0) {

				mu[i*pri[j]]=0;

				break;

			}

			mu[i*pri[j]]=-mu[i];

		}

	}

	for(int i=1;i<=n;i++) mu[i]+=mu[i-1];

}

map<int,int>sum;

ll cal(ll n) {

	if(n<=1e7) return mu[n];

	if(sum.find(n)!=sum.end()) return sum[n];

	ll ans=1,last;

	for(int i=2;i<=n;i=last+1) {

		last=n/(n/i);

		ans-=(last-i+1)*cal(n/i);

	}

	return sum[n]=ans;

}

ll ksm(ll t,ll x) {

	ll ans=1;

	for(;x;x>>=1,t=t*t%mod)

		if(x&1) ans=ans*t%mod;

	return ans;

}

ll solve(ll l,ll r) {

	ll ans=0,last;

	for(ll i=1;i<=r;i=last+1) {

		ll x=!(l/i)?r:l/(l/i),y=r/(r/i);

		last=min(x,y);

		ans=(ans+(cal(last)-cal(i-1)+mod)*ksm(r/i-l/i,n)%mod)%mod;

	}

	return ans;

}

int main() {

	pre(10000000);

	n=Get(),k=Get(),l=Get(),r=Get();

	l=(l-1)/k;

	r/=k;

	cout<<solve(l,r);

	return 0;

}

巴特西

【BZOJ3930】选数

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