BZOJ5306 HAOI2018染色（容斥原理+NTT）

容易想到枚举恰好出现S次的颜色有几种。如果固定至少有i种恰好出现S次，那么方案数是C(M,i)·C(N,i*S)·(M-i)^N-i*S·(i*S)!/(S!)ⁱ，设为f(i)。

　　于是考虑容斥，可得恰好i种的答案为Σ(-1)^j-iC(j,i)·f(j) (j=i~min(M,⌊N/S⌋))。因为容斥是一个枚举子集的过程，在算至少i种的方案时，f(j)被计入了C(j,i)次。

　　f显然可以通过预处理阶乘及其逆元线性地算出来。考虑怎么快速算后一部分。注意到模数，NTT没跑了。拆开组合数，可以发现是与j-i有关的式子和与j有关的式子相乘，那么把其中一个翻转一下就是卷积了。

　　容斥好难啊。

#include<iostream>

#include<cstdio>

#include<cmath>

#include<cstdlib>

#include<cstring>

#include<algorithm>

using namespace std;

int read()

{

    int x=,f=;char c=getchar();

    while (c<''||c>'') {if (c=='-') f=-;c=getchar();}

    while (c>=''&&c<='') x=(x<<)+(x<<)+(c^),c=getchar();

    return x*f;

}

#define P 1004535809

#define N 10000010

#define M 100010

#define inv3 334845270

int n,m,s,k,t,w[N],f[M*],a[M*],fac[N],inv[N],r[M*],ans=;

int ksm(int a,int k)

{

    if (k==) return ;

    int tmp=ksm(a,k>>);

    if (k&) return 1ll*tmp*tmp%P*a%P;

    else return 1ll*tmp*tmp%P;

}

int C(int n,int m){return 1ll*fac[n]*inv[m]%P*inv[n-m]%P;}

void DFT(int n,int *a,int p)

{

    for (int i=;i<n;i++) if (i<r[i]) swap(a[i],a[r[i]]);

    for (int i=;i<=n;i<<=)

    {

        int wn=ksm(p,(P-)/i);

        for (int j=;j<n;j+=i)

        {

            int w=;

            for (int k=j;k<j+(i>>);k++,w=1ll*w*wn%P)

            {

                int x=a[k],y=1ll*w*a[k+(i>>)]%P;

                a[k]=(x+y)%P,a[k+(i>>)]=(x-y+P)%P;

            }

        }

    }

}

void mul(int n,int *a,int *b)

{

    DFT(n,a,),DFT(n,b,);

    for (int i=;i<n;i++) a[i]=1ll*a[i]*b[i]%P;

    DFT(n,a,inv3);

    int inv=ksm(n,P-);

    for (int i=;i<n;i++) a[i]=1ll*a[i]*inv%P;

}

int main()

{

#ifndef ONLINE_JUDGE

    freopen("bzoj5306.in","r",stdin);

    freopen("bzoj5306.out","w",stdout);

    const char LL[]="%I64d";

#else

    const char LL[]="%lld";

#endif

    n=read(),m=read(),s=read(),k=min(m,n/s);

    for (int i=;i<=m;i++) w[i]=read();

    fac[]=;for (int i=;i<=max(n,m);i++) fac[i]=1ll*fac[i-]*i%P;

    inv[]=inv[]=;for (int i=;i<=max(n,m);i++) inv[i]=(P-1ll*(P/i)*inv[P%i]%P)%P;

    for (int i=;i<=max(n,m);i++) inv[i]=1ll*inv[i]*inv[i-]%P;

    for (int i=;i<=k;i++)

    f[i]=1ll*C(m,i)*C(n,i*s)%P*ksm(m-i,n-i*s)%P*fac[i*s]%P*ksm(inv[s],i)%P;

    t=;while (t<=k*) t<<=;

    for (int i=;i<t;i++) r[i]=(r[i>>]>>)|(i&)*(t>>);

    for (int i=;i<=k;i++) f[i]=1ll*f[i]*fac[i]%P;

    for (int i=;i<=k;i++) a[i]=1ll*((i&)?P-:)*inv[i]%P;

    reverse(a,a+k+);

    mul(t,f,a);

    for (int i=;i<=k;i++) ans=(ans+1ll*f[i+k]*w[i]%P*inv[i]%P)%P;

    cout<<ans;

    return ;

}

巴特西

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