DFS 算法总结
2024-10-03 17:02:50
DFS 算法总结
这篇文章会对DFS进行一个总结，列举的题目则是从LeetCode上面选的；
适用场景：
有三个方面，分别是输入数据、状态转换图、求解目标；
输入数据：如果是递归数据结构，如单链表，二叉树，集合，则百分之百可以使用深搜；如果是非递归数据结构，比如一维数组、二维数组、字符串、图，则概率要小一些；
状态转换图：树或者图；
输入数据：必须要走到最深（比如对于树，必须要走到叶子结点）才能得到一个解，这种情况比较适合用深搜；
代码模版
/**
* DFS模版
* @param input 输入数据指针
* @param path 当前路径，也是中间结果
* @param result 存放最终结果
* @param gap 标记当前位置或距离目标的距离
*
* @return 路径长度，如果是路径本身，则不需要返回长度
*/
template <typename type>
void dfs(type & input, type & path, type & result, int cur or gap) {
if (数据非法) return 0; // 终止条件
if (cur == input.size()) { // 收敛条件 (or gap == 0)
将path放入到result中；
}
if (可以剪枝) return ;
for (...) { //执行所有可能的扩展动作
1.执行动作，修改path
2.dfs(input, path, result, cur + 1 or gap - 1);
3.恢复path
}
}
典型例题
大概遇见这几种题型：
- 二叉树路径
- 图（有向图遍历，无向图遍历，拓扑排序，最短路径问题，最小生成树问题等等）
- 构造二叉树
- 矩阵路径
- 构造链表
- 删除无效括号
二叉树路径
例题为求二叉树路径
贴上代码：
/**
* 递归将更新字符串，到达叶结点时加入到数组中
*
* @param result <#result description#>
* @param root <#root description#>
* @param t <#t description#>
*/
void binaryTreePaths(vector<string>& result, TreeNode* root, string t) {
if (!root->left && !root->right) {
result.push_back(t);
return ;
}
if (root->left) binaryTreePaths(result, root->left, t + "->" + to_string(root->left->val));
if (root->right) binaryTreePaths(result, root->right, t + "->" + to_string(root->right->val));
}
vector<string> binaryTreePaths(TreeNode* root) {
vector<string> result;
if (!root) return result;
binaryTreePaths(result, root, to_string(root->val));
return result;
}
图
因为这里面涉及的内容很多，所以就以拓扑排序为例，例题为选课顺序；
贴上代码：
/**
* 判断有向图是否有环
* 通过DFS找环
*
* @param matrix <#matrix description#>
* @param visited <#visited description#>
* @param idx <#idx description#>
* @param flag <#flag description#>
*
* @return <#return value description#>
*/
bool DFS(vector<unordered_set<int>> &matrix, unordered_set<int> &visited, int idx, vector<bool> &flag) {
flag[idx] = true; // 标记该结点访问过
visited.insert(idx);
// 找出该结点的所有邻居结点，如果存在访问过的结点或者递归，则返回true
for (auto it = matrix[idx].begin(); it != matrix[idx].end(); ++it) {
if (visited.find(*it) != visited.end() || DFS(matrix, visited, *it, flag)) {
return true;
}
}
visited.erase(idx);
return false;
}
bool canFinish(int numCourses, vector<pair<int, int>>& prerequisites) {
vector<unordered_set<int>> matrix(numCourses);
// 要想完成第一门课程，则先完成第二门课程(后面的是先要完成的课程)
// 构建图
for (int i = 0; i < prerequisites.size(); ++i) {
matrix[prerequisites[i].second].insert(prerequisites[i].first);
}
unordered_set<int> visited; // 记录一个递归访问过的结点
vector<bool> flag(numCourses, false); // 记录是否访问过结点
/**
* 遍历所有课程，也就是结点
* 判断是否标记过结点，如果没有则进行DFS判断是否存在回路，存在回路则返回false
*/
for (int i = 0; i < numCourses; ++i) {
if (!flag[i])
// 如果递归中存在访问过的结点，则该拓扑排序是不存在的，也就无法完成课程
if (DFS(matrix, visited, i, flag))
return false;
}
return true;
}
构造二叉树
这里分为链表构造和数组构造，或是已知前中后序列，构造二叉树
这里以前序和后序构造二叉树为例，贴上代码：
/**
* 利用递归进行计算左子树和右子树
*
* @param inorder <#inorder description#>
* @param postorder <#postorder description#>
* @param inStart <#inStart description#>
* @param inEnd <#inEnd description#>
* @param postStart <#postStart description#>
* @param postEnd <#postEnd description#>
*
* @return <#return value description#>
*/
TreeNode* createTree(vector<int>& inorder, vector<int>& postorder, int inStart, int inEnd, int postStart, int postEnd) {
if (postorder.empty() || inStart > inEnd || postStart > postEnd)
return NULL;
// 后序的最后一个结点是跟结点
TreeNode * root = new TreeNode(postorder.at(postEnd));
int index;
for (int i = inStart; i <= inEnd; i++) {
if (inorder.at(i) == postorder.at(postEnd)) {
index = i;
break;
}
}
// 分别定为左子树和右子树 （需要注意子树的边界问题!!!!!）
root->left = createTree(inorder, postorder, inStart, index - 1, postStart, postStart - inStart + index - 1);
root->right = createTree(inorder, postorder, index + 1, inEnd, postEnd - inEnd + index, postEnd - 1);
return root;
}
TreeNode* buildTree(vector<int>& inorder, vector<int>& postorder) {
if (postorder.empty())
return NULL;
return createTree(inorder, postorder, 0, (int)inorder.size() - 1, 0, (int)postorder.size() - 1);
}
矩阵路径
以Longest Increasing Path in a Matrix为例
贴上代码：
/**
* 方法和上面类似，不过利用dirs+循环可以使函数简化
*/
vector<vector<int>> dirs = {{1, 0}, {-1, 0}, {0, 1}, {0, -1}};
int helper(vector<vector<int>>& matrix, vector<vector<int>>& visit, int i, int j, int m, int n) {
if (visit[i][j] > 1) return visit[i][j];
int result = 1;
for (auto dir : dirs) {
int x = i + dir[0], y = j + dir[1];
if (x < 0 || x >= m || y < 0 || y >= n || matrix[i][j] > matrix[x][y])
continue;
result = max(result, helper(matrix, visit, i, j, m, n));
}
visit[i][j] = result;
return result;
}
int longestIncreasingPath2(vector<vector<int>>& matrix) {
int m = matrix.size();
if (m == 0) return 0;
int n = matrix[0].size();
int result = 0;
vector<vector<int>> visit(m, vector<int>(n, 0));
for (int i = 0; i < m; ++i) {
for (int j = 0; j < n; ++j) {
result = max(result, helper(matrix, visit, i, j, m, n));
}
}
return result;
}
构造链表
以Populating Next Right Pointers in Each Node为例，贴上代码：
/**
* 递归实现
*
* @param root <#root description#>
*/
void createTree(TreeLinkNode *root) {
if (root->left == NULL || root->right == NULL)
return ;
TreeLinkNode * left = root->left;
TreeLinkNode * right = root->right;
left->next = right;
right->next = root->next ? root->next->left : NULL;
createTree(root->left);
createTree(root->right);
}
void connect2(TreeLinkNode *root) {
if (root == NULL)
return ;
root->next = NULL;
createTree(root);
}
删除无效括号
以Remove Invalid Parentheses为例，贴上代码：
/**
* DFS＋剪枝
*
* @param pair 遇见括号的个数
* @param index 记录字符串s的当前位置
* @param remove_left 左括号需要删除的个数
* @param remove_right 右括号需要删除的个数
* @param s 原始字符串
* @param solution 生成字符串
* @param result 存储所有的字符串结果
*/
void helper(int pair, int index, int remove_left, int remove_right, const string& s, string solution, unordered_set<string> &result) {
if (index == s.size()) {
if (pair == 0 && remove_left == 0 && remove_right == 0)
result.insert(solution);
return;
}
if (s[index] == '(') {
// 删除左边括号
if (remove_left > 0) helper(pair, index, remove_left - 1, remove_right, s, solution, result);
// 回溯
helper(pair + 1, index, remove_left, remove_right, s, solution + s[index], result);
}
else if (s[index] == ')') {
// 删除右边括号
if (remove_right > 0) helper(pair, index, remove_left, remove_right - 1, s, solution, result);
// 回溯
if (pair > 0) helper(pair - 1, index, remove_left, remove_right, s, solution + s[index], result);
}
else {
helper(pair, index, remove_left, remove_right, s, solution + s[index], result);
}
}
vector<string> removeInvalidParentheses(string s) {
int remove_left = 0, remove_right = 0, pair = 0;
unordered_set<string> result; // 处理重复
// 计算左右两边需要删除括号的个数
for (int i = 0; i < s.size(); ++i) {
if (s[i] == '(')
remove_left++;
else if (s[i] == ')')
if (remove_left > 0) remove_left--;
else remove_right++;
}
helper(0, 0, remove_left, remove_right, s, "", result);
return vector<string>(result.begin(), result.end());
}
总结
回溯法 ＝ 深搜＋剪枝
递归一定是深搜，深搜不一定是递归，因为还可以迭代实现；
递归有两种加速策略，一种是剪枝，对中间结果进行判断，提前返回；一种是缓存，缓存中间结果，防止重复计算，用空间换时间；
递归加缓存，就是memorization，即自顶向下＋缓存，memorization不一定用递归，就像深搜不一定用递归，可以在迭代中使用memorization，递归也不一定memorization，可以用memorization加速，但不是必须的；
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