【BZOJ3700】发展城市 [LCA][RMQ]

发展城市

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Description

　　众所周知，Hzwer学长是一名高富帅，他打算投入巨资发展一些小城市。
　　Hzwer打算在城市中开N个宾馆，由于Hzwer非常壕，所以宾馆必须建在空中，但是这样就必须建立宾馆之间的连接通道。机智的Hzwer在宾馆中修建了N-1条隧道，也就是说，宾馆和隧道形成了一个树形结构。
　　Hzwer有时候会花一天时间去视察某个城市，当来到一个城市之后，Hzwer会分析这些宾馆的顾客情况。对于每个顾客，Hzwer用三个数值描述他：（S， T， V）表示该顾客这天想要从宾馆S走到宾馆T，他的速度是V。
　　Hzwer需要做一些收集一些数据，这样他就可以规划他接下来的投资。
　　其中有一项数据就是收集所有顾客可能的碰面次数。
　　每天清晨，顾客同时从S出发以V的速度前往T（注意S可能等于T），当到达了宾馆T的时候，顾客显然要找个房间住下，那么别的顾客再经过这里就不会碰面了。特别的，两个顾客同时到达一个宾馆是可以碰面的。同样，两个顾客同时从某宾馆出发也会碰面。

Input

　　第一行一个正整数T(1<=T<=20)，表示Hzwer发展了T个城市，并且在这T个城市分别视察一次。
　　对于每个T，第一行有一个正整数N(1<=N<=10^5)表示Hzwer在这个城市开了N个宾馆。
　　接下来N-1行，每行三个整数X，Y，Z表示宾馆X和宾馆Y之间有一条长度为Z的隧道
　　再接下来一行M表示这天顾客的数量。
　　紧跟着M行每行三个整数（S， T， V）表示该顾客会从宾馆S走到宾馆T，速度为v

Output

　　对于每个T，输出一行，表示顾客的碰面次数。

Sample Input

　　2
　　3
　　1 2 1
　　2 3 1
　　3
　　1 3 2
　　3 1 1
　　1 2 3
　　1
　　0

Sample Output

　　2
　　0

HINT

　　1<=T<=20 1<=N<=10^5 0<=M<=10^3 1<=V<=10^6 1<=Z<=10^3

Main idea

　　给定若干个顾客，每个顾客会匀速从一个点走到另外一个点，问有几对人会在路上相遇。

Solution

　　由于人数较少，所以我们可以O(m^2)判断两人是否相交。

　　首先，两个人相遇只可能是在路径重叠的部分相遇，所以我们先对两人的路径求交，这里提供一种对树上路径求交的方法：

　　　　求出AB两人路径的交：
　　　　　　设A路径为a.u->a.v，B路径为b.u->b.v。那么我们求出 LCA(a.u,b.u)，LCA(a.v,b.v)，LCA(a.u,b.v)，LCA(b.u,a.v)，然后保留下在AB路径上的点。（判断一个点是否在路径上：若u在LCA(x,y)的子树中，且u为LCA(u,x)或者LCA(u,y)，则u在路径x,y上），然后按照dfs序位置排序，去重，保留下后两个点，则后两个点即是路径的端点。

　　但是这样求交的话需要多次查询LCA，我们用每次log的时间查询显然会超时，于是我们引进O(nlog(n))预处理，O(1)查询的LCA。

　　　　O(1)查询的LCA：
　　　　　　我们先求出对于这棵树的欧拉序（欧拉序：记下每个点第一次访问的位置以及回溯完的位置），然后我们用那么这时候x,y之间的LCA也就是 [pos[x],pos[y]] 区间内深度最小的点（pos[x]表示点x第一次在欧拉序中出现的位置），这个区间最小值用RMQ求即可。

　　现在我们已经求出了路径的交集，然后我们暴力分类讨论一下。如果没有交集则必然不相交，若交于一点判断一下到达时间即可，否则：

　　先考虑两人运动的方向。我们记录p.u,p.v表示路径交集的两个端点。A1表示A到先进入路径的端点，A2表示A后到的端点，B1、B2类似（用距离长短判断即可），如果A1=B1则表示两人同向运动，否则表示相向运动。然后我们讨论一下：

　　　　同向运动：如果两人同向运动，那么若先进入路径的后离开路径，则两人会相遇。
　　　　相向运动：如果两人相向运动，则我们记录到端点的时间，如果两个人在路径上的时间有交集的话，则会相遇。

　　然后这样判断一下就可以求出答案了，但是由于double定义下的除法速度很慢，会被卡常数，所以我们再用在long long定义下的交叉相乘来判断以上情况。这样我们就解决了这道题\(≧▽≦)/

Code

 #include<iostream>

 #include<algorithm>

 #include<cstdio>

 #include<cstring>

 #include<cstdlib>

 #include<cmath>

 using namespace std;

 typedef long long s64;

 const int ONE = ;

 int T;

 int n,m;

 int x,y,z;

 int next[ONE*],first[ONE],go[ONE*],w[ONE*],tot;

 int pos[ONE],dfn_cnt,Dep[ONE],size[ONE];

 int MinD[ONE*][],NumD[ONE*][];

 int Log[ONE*],Bin[];

 int Stk[],top,fc;

 int Ans;

 s64 d[ONE];

 struct power

 {

         int u,v;

         int val;

 }a[],p;

 namespace input

 {

         const int BufferSize =  <<  | ;

         char buffer[BufferSize];

         char *head = buffer + BufferSize;

         const char *tail = head;

         inline char nextChar()

         {

             if (head == tail)

             {

                 fread(buffer, , BufferSize, stdin);

                 head = buffer;

             }

             return *head++;

         }

         inline int get()

         {

             static char c;

             while ((c = nextChar()) < '' || c > '');

             int res = c - '';

             while ((c = nextChar()) >= '' && c <= '')

                 res = res *  + c - '';

             return res;

         }

 }

 using input::get;

 inline void Add(int u,int v,int z)

 {

         next[++tot]=first[u];   first[u]=tot;   go[tot]=v;  w[tot]=z;

         next[++tot]=first[v];   first[v]=tot;   go[tot]=u;  w[tot]=z;

 }

 namespace F

 {

         int Dfs(int u,int father)

         {

             pos[u] = ++dfn_cnt;

             Dep[u] = Dep[father] + ;

             size[u] = ;

             MinD[dfn_cnt][]=Dep[u];    NumD[dfn_cnt][]=u;

             for(int e=first[u];e;e=next[e])

             {

                 int v=go[e];

                 if(v==father) continue;

                 d[v] = d[u] + w[e];

                 Dep[v] = Dep[u] + ;

                 Dfs(v,u);

                 size[u] += size[v];

                 MinD[++dfn_cnt][]=Dep[u];  NumD[dfn_cnt][]=u;

             }

         }

         inline void Pre_Rmq()

         {

             for(int j=;j<=;j++)

             for(int i=;i<=dfn_cnt;i++)

             if(i+Bin[j]- <= dfn_cnt)

             {

                 int Next = i + Bin[j-];

                 if(MinD[i][j-] < MinD[Next][j-])

                     MinD[i][j]=MinD[i][j-], NumD[i][j]=NumD[i][j-];

                 else

                     MinD[i][j]=MinD[Next][j-], NumD[i][j]=NumD[Next][j-];

             }

             else break;

         }

 }

 inline int LCA(int x,int y)

 {

         x=pos[x];   y=pos[y];

         if(x > y) swap(x,y);

         int T = Log[y - x +];

         if(MinD[x][T] < MinD[y-Bin[T]+][T]) return NumD[x][T];

         return NumD[y-Bin[T]+][T];

 }

 inline s64 dist(int x,int y)

 {

         return d[x] + d[y] - (d[LCA(x,y)] << ) ;

 }

 namespace PD

 {

         inline bool inroad(int u,power a)

         {

             int lca = LCA(a.u,a.v);

             if(LCA(u,lca) != lca) return ;

             return (LCA(u,a.u)==u || LCA(u,a.v)==u);

         }

 }

 inline void Sort(int n)

 {

         for(int i=;i<=n;i++)

         for(int j=i+;j<=n;j++)

         if(pos[Stk[i]] > pos[Stk[j]])

             swap(Stk[i], Stk[j]);

 }

 inline power Get_road(power a,power b)

 {

         fc=top=;

         Stk[++fc] = LCA(a.u,b.u);   Stk[++fc] = LCA(a.v,b.v);

         Stk[++fc] = LCA(a.u,b.v);   Stk[++fc] = LCA(b.u,a.v);

         for(int i=;i<=fc;i++)

         if(PD::inroad(Stk[i],a) && PD::inroad(Stk[i],b))

             Stk[++top] = Stk[i];

         Sort(top);

         top=unique(Stk+,Stk+top+) - Stk - ;

         power p;    p.val = ;

         if(top==)  p.u = p.v = ;

         if(top==)  p.u = p.v = Stk[];

         if(top==)  p.u=Stk[], p.v=Stk[];

         if(top==)  p.u=Stk[], p.v=Stk[];

         return p;

 }

 inline bool pmin(s64 a,s64 b,s64 c)

 {

         if(a<=b && b<=c) return ;

         return ;

 }

 inline int Deal(int x,int y)

 {

         if(a[x].u == a[y].u) return ;

         p = Get_road(a[x],a[y]);

         if(p.u==p.v)

         {

             if(!p.u) return ;

             return (s64) dist(a[x].u,p.u) * a[y].val == (s64) dist(a[y].u,p.u) * a[x].val;

         }

         int A1,A2,B1,B2;

         double A1_time,A2_time,B1_time,B2_time;

         if(dist(a[x].u,p.u) < dist(a[x].u,p.v)) A1=p.u, A2=p.v;else A1=p.v, A2=p.u;

         if(dist(a[y].u,p.u) < dist(a[y].u,p.v)) B1=p.u, B2=p.v;else B1=p.v, B2=p.u;

         A1_time=(s64)dist(A1,a[x].u)*a[y].val;   A2_time=(s64)dist(A2,a[x].u)*a[y].val;

         B1_time=(s64)dist(B1,a[y].u)*a[x].val;   B2_time=(s64)dist(B2,a[y].u)*a[x].val;

         if(A1==B1)//same

         {

             if(A1_time == B1_time) return ;

             if(A1_time < B1_time) return A2_time >= B2_time;

             return A2_time <= B2_time;

         }

         else

         {

             if(pmin(A1_time,B1_time,A2_time)) return ;

             if(pmin(A1_time,B2_time,A2_time)) return ;

             if(pmin(B1_time,A1_time,B2_time)) return ;

             if(pmin(B1_time,A2_time,B2_time)) return ;

             return ;

         }

 }

 inline void Solve()

 {

         n=get();

         dfn_cnt=tot=;

         memset(first,,sizeof(first));

         for(int i=;i<n;i++)

         {

             x=get();    y=get();    z=get();

             Add(x,y,z);

         }

         F::Dfs(,);    F::Pre_Rmq();

         m=get();

         for(int i=;i<=m;i++)

         {

             a[i].u=get();   a[i].v=get();   a[i].val=get();

         }

         Ans = ;

         for(int i=;i<=m;i++)

         for(int j=i+;j<=m;j++)

         {

             Ans += Deal(i,j);

         }

         printf("%d\n",Ans);

 }

 int main()

 {

         Log[]=-;  for(int i=;i<=2e5;i++) Log[i] = Log[i>>] + ;

         Bin[]=;   for(int i=;i<=; i++) Bin[i] = Bin[i-] << ;

         T=get();

         while(T--)

             Solve();

 }

巴特西