NOIP树上问题总结

这几年考了好几次树上问题：

NOIP2012 疫情控制(二分答案+倍增+贪心)

NOIP2013 货车运输(最大生成树+倍增)

NOIP2014 联合权值(勉强算作树形dp的傻逼题)

NOIP2015 运输计划(二分答案+树上差分+最近公共祖先)

NOIP2016 天天爱跑步(树上差分+树上倍增)

可以说除了联合权值外都有一定的难度，(关键是我不抄题解一道也做不出来)

去年没考树上的问题所以我感觉今年要考

树

树是一种极其优美的结构，树上两点之间有且仅有一条路径。

在近年来oi中常出现关于树的题目。

树的直径

树的直径就是树中最长的一条路径，处理方法有树形dp和两遍dfs或bfs

需要注意的是在存在负边权的树中只能用树形dp来求直径

1.巡逻

一道画画图就能搞出来的题。。。

首先我们应该想想他让我们修路有什么用。你随便画一棵树就很容易发现，要想从一个点出发经过所有点一遍再回来，每条边是要经过两次的。而我们修路就是为了让其中一些边只走一次。

$K=1$：显然我们随意连一条边会形成一个环，环上的边我们只用经过一次。这样我们最大化环的的长度就行，也就是找到树的直径。

$K=2$：首先我们肯定还是连直径。但是第二条边怎么连？显然我们还可以找次长链出来。但如果两条链有重叠怎么办？

我们可以把第一条链在算完长度后将所有边权赋成-1，这样就不会算重了。设两次选的边长度分别为$l1$,$l2$，那么答案就是$2*n-l1-l2$。

2.消防

首先我们应该想到这条路径一定在树的直径上。这里给出证明：

设直径的长度为$d$，那么直径外的边长度一定小于等于$d/2$（否则该路径会与直径的一部分构成一条比直径还长的路径）

若该路径不在直径上，则直径的最远点到该路径的距离至少为$d/2$

而如果在直径上，一定存在一段路径使得树上所有点的距离到它不超过$d/2$

所以选在直径上一定是优的，而且在符合题目要求的情况下越长越好。

那么如果我们确定里直径，我们可以$O(n)$求出直径上每个点到最远点的距离，然后左右指针扫直径，单调队列维护区间最小值即可。

3.直径

求直径的长和直径并的数量。

直径当然好求，而直径并，一定是在一条直径上。

所以我们可以先求出一条最长链。而所有直径的并一定是最长链上连续的一段。

证明很简单：如果中间有分开而最后又和在一起，显然会形成一个环。

然后我们对于最长链上的每个点，dfs求出其子树中距离最远的点，若两点之间的距离等于该点到直径一个端点的距离，那么显然这个点到端点之间这一段就不能用来统计答案了，将它们从答案中删除即可。

然后我们可以正着做一遍这个操作，反向再做一遍，中间没被删除部分即为直径的并

树上管理问题

树上的每个点能管理相邻一片区域，求最少几个点能管理整棵树。

一般考虑从下往上贪心。

1.救火站Gas

又是树上管理类的问题，我们当然考虑贪心。这个题算是消防站的设立那道题的加强版。

很显然的一种做法是对于一个点，我们要找一个深度最小的点来覆盖它。

然后看这个数据范围$k<=20$，我们可以想到把他当成状态放进数组里

设$need[i][j]$为以$i$为子树的$j$级子孙有几个未覆盖，$left[i][j]$为以$i$为子树的$j$级子孙有几个多出来控制的没使用

显然当$need[i][j]$中$j=k$时，我们就必须放消防站来管理了

然后我们还可以用$left$来抵消$need$

2.消防局的设立

有一种很显然的贪心测略：对于当前深度最大的点，我们选他的爷爷点一定是最优的。

对于最深的点我们选离他最远但是能管理到他的祖先即可。

树上倍增&&树上差分

这几年考过好几次树上倍增，有两次都是和树上差分结合在一起的。利用树上倍增求出两点的$LCA$，然后两点$(u,v)$之间边的信息往往可以转化为$(u->root)+(v->root)-2*(LCA->root)$，点的信息可以转化为$(u->root)+(v->root)-LCA->root-fa_LCA->root$。

1.天天爱跑步

对于每一条链，我们根据套路把他拆成$(u->root)+(v->root)-LCA->root-fa_LCA->root$

然后我们发现$(u->root)$和$(v->root)$要分别处理(因为一个往上走一个往下走)

设观察员$y$出现的时间为$w_y$

那么$x$向上跑要想被观察员看见，就要满足等式$deep_x-w_y=deep_y$，移项得到$deep_x=deep_y+w_y$，换句话说，$y$子树内只有满足$deep_x=deep_y+w_y$的点会对$y$产生贡献

当$x$向下跑想被$y$看见，我们可以设$x$的时间为$ed_x$，根据刚才的套路，我们发现子树内只有满足$deep_x-ed_x=deep_y-ed_y$的点会对$y$产生贡献

用一个桶dfs一遍即可求出答案，是不是越想越简单了。。

2.运输计划

根据套路最大值最小的问题我们考虑二分，假设我们二分出来的答案为$mid$，那么我们显然要把大于$mid$的所有计划减去同一条边，且这条边在大于$mid$的计划的路径并上

我们差分一下求出每个计划对路径的覆盖，只有覆盖数目等于大于$mid$的计划的边可以考虑被减去

对这些可以减去的边取一个最大值然后判断即可

以前感觉这道题很神仙，其实仔细一分析每一步都是套路

3.疫情控制

仔细分析题目，好像还是最大值最小啊，当然是考虑二分咯。显然我们在军队没跳到首都之下的儿子上时，一直往上跳是最优的

但调到首都儿子上时，我们发现一个问题，如果接着往上跳，很可能在这个点重新需要控制的时候就跳不回来了，那还不如不跳

所以我们把所有调到首都后能返回他上一个儿子的点全部跳到首都，对于子树内的所有叶子已经被覆盖的军队当然也跳到首都，因为再留在这个点已经没有意义了

然后我们在首都枚举所有的叶子，如果还没被覆盖，就从首都派遣军队进行覆盖，如果所有军队都到不了叶子的祖宗，自然二分的答案不合法

巴特西