NumPy-快速处理数据--矩阵运算
本文摘自《用Python做科学计算》,版权归原作者所有。
1. NumPy-快速处理数据--ndarray对象--数组的创建和存取
2. NumPy-快速处理数据--ndarray对象--多维数组的存取、结构体数组存取、内存对齐、Numpy内存结构
3. NumPy-快速处理数据--ufunc运算--广播--ufunc方法
接下来介绍矩阵运算
Numpy默认不使用矩阵运算,如果希望对数组进行矩阵运算的话需要调用相应的函数
matrix 对象
numpy库提供了matrix类,使用matrix类创建的是矩阵对象,它们的加减乘除运算缺省采用矩阵方式计算,因此用法和matlab十分类似。但是由于NumPy中同时存在ndarray和matrix对象,因此用户很容易将两者弄混。这有违Python的“显式优于隐式”的原则,因此并不推荐在较复杂的程序中使用matrix。下面是使用matrix的一个例子:
>>> import numpy as np
>>> a = np.matrix([[1,2,3],[5,5,6],[7,9,9]])
>>> a**-1 # a 的逆矩阵
matrix([[-0.6 , 0.6 , -0.2 ],
[-0.2 , -0.8 , 0.6 ],
[ 0.66666667, 0.33333333, -0.33333333]])
>>> a * a**-1 # a与a的逆矩阵的乘积,结果是单位阵
matrix([[ 1.00000000e+00, 0.00000000e+00, 0.00000000e+00],
[ 4.44089210e-16, 1.00000000e+00, 4.44089210e-16],
[ 0.00000000e+00, -4.44089210e-16, 1.00000000e+00]])
如果不使用matrix 对象,而把二维数组看作是矩阵的话,就需要使用dot函数进行计算。对于二维数组,它计算的是矩阵乘积,对于一维数组,它计算的是其点积。当需要将一维数组当作列矢量或者行矢量进行矩阵运算时,推荐先使用reshape或者shape函数将一维数组转换为二维数组:
>>> a = np.array([1, 2, 3])
>>> a.shape#a是一维数组
(3,)
>>> a.shape = (-1, 1)#使用shape直接修改a的维数
>>> a
array([[1],
[2],
[3]])
>>> a.reshape(1, -1) #使用reshape也可以,但是他的返回值改变a的shape,而a本身不变
array([[1, 2, 3]])
>>> a
array([[1],
[2],
[3]])
dot :对于两个一维的数组,计算的是这两个数组对应下标元素的乘积和(数学上称之为内积);对于二维数组,计算的是两个数组的矩阵乘积;对于多维数组,它的通用计算公式如下,即结果数组中的每个元素都是:数组a的最后一维上的所有元素与数组b的倒数第二位上的所有元素的乘积和:
dot(a, b)[i,j,k,m] = sum(a[i,j,:] * b[k,:,m])
两个三维数组相乘
>>> a = np.arange(12).reshape(2,3,2)
>>> a
array([[[ 0, 1],
[ 2, 3],
[ 4, 5]], [[ 6, 7],
[ 8, 9],
[10, 11]]])
>>> b = np.arange(12,24).reshape(2,2,3)
>>> b
array([[[12, 13, 14],
[15, 16, 17]], [[18, 19, 20],
[21, 22, 23]]])
>>> c = np.dot(a,b)
>>> c
array([[[[ 15, 16, 17],
[ 21, 22, 23]], [[ 69, 74, 79],
[ 99, 104, 109]], [[123, 132, 141],
[177, 186, 195]]], [[[177, 190, 203],
[255, 268, 281]], [[231, 248, 265],
[333, 350, 367]], [[285, 306, 327],
[411, 432, 453]]]])
>>> c.shape
(2, 3, 2, 3)
dot乘积的结果c可以看做是数组a, b的多个子矩阵的乘积:
>>> np.alltrue( c[0,:,0,:] == np.dot(a[0],b[0]) )
True
>>> np.alltrue( c[1,:,0,:] == np.dot(a[1],b[0]) )
True
>>> np.alltrue( c[0,:,1,:] == np.dot(a[0],b[1]) )
True
>>> np.alltrue( c[1,:,1,:] == np.dot(a[1],b[1]) )
True
inner : 和dot乘积一样,对于两个一维数组,计算的是这两个数组对应下标元素的乘积和;对于多维数组,它计算的结果数组中的每个元素都是:数组a和b的最后一维的内积,因此数组a和b的最后一维的长度必须相同:
inner(a, b)[i,j,k,m] = sum(a[i,j,:]*b[k,m,:])
>>> a = np.arange(12).reshape(2,3,2)
>>> b = np.arange(12,24).reshape(2,3,2)
>>> c = np.inner(a,b)
>>> c.shape
(2, 3, 2, 3)
>>> c[0,0,0,0] == np.inner(a[0,0],b[0,0])
True
>>> c[0,1,1,0] == np.inner(a[0,1],b[1,0])
True
>>> c[1,2,1,2] == np.inner(a[1,2],b[1,2])
True
outer : 只按照一维数组进行计算,如果传入参数是多维数组,则先将此数组展平为一维数组之后再进行运算。outer乘积计算的列向量和行向量的矩阵乘积:
>>> np.outer([1,2,3],[4,5,6,7])
array([[ 4, 5, 6, 7],
[ 8, 10, 12, 14],
[12, 15, 18, 21]])
矩阵中更高级的一些运算可以在NumPy的线性代数子库linalg中找到。例如inv函数计算逆矩阵,solve函数可以求解多元一次方程组。下面是solve函数的一个例子:
>>> a = np.random.rand(10,10)
>>> b = np.random.rand(10)
>>> x = np.linalg.solve(a,b)
solve函数有两个参数a和b。a是一个N*N的二维数组,而b是一个长度为N的一维数组,solve函数找到一个长度为N的一维数组x,使得a和x的矩阵乘积正好等于b,数组x就是多元一次方程组的解。
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