【CSP2019】树上的数

题面

题解

我们设每个点上的编号分别为\(a_1,a_2...a_n\)。

10pts

。。。

菊花

假设现在菊花中心编号是\(rt\)，设你依次拆边\((p_1,rt),(p_2,rt)...(p_{n-1},rt)\)，那么最后你会发现\(a_{rt}\)到了点\(p_1\)，\(a_{p_1}\)到了点\(p_2...a_{p_{n-1}}\)到了\(rt\)。

我们把点按照\((rt,p_1,p_2...p_{n-1})\)排出来，那么操作就相当于每个点上的数字向后挪了一位。

于是可以想到贪心构造轮换的过程，就是说按照\(1,2,3...n\)，每个数字选择自己在环上的下一个点是什么，因为你最后肯定是个大环，所以中间过程中不能出现小环，所以用并查集维护一下即可。

链

链有几个很显然的性质，假如数字\(a_u\)要跑到\(v\)去（假设方向从左往右），那么对于\(u\)，你必须\(u\)两边的删边顺序先右后左，对于\(u,v\)中间的点，一定要是保证删边是连续的所以中间的所有点删边顺序先左后右。

我们将每个点打上一个标记\(tag_i\in\{0,1,2\}\)分别表示没有删边，先右后左，先左后右，那么你肯定还是贪心地去换，如果中间有标记冲突了就证明换不了。

100pts

和链一样，还是考虑如果要将\(a_u\)放到\(v\)去，我们这张图需要满足条件是啥：

\(u\)在\(v\)方向上的边是\(u\)出边中第一个被删除的
路径\(u,v\)上删边连续
\(v\)在\(u\)方向上的边是\(v\)入边中最后一个被删除的

考虑对于所有的点\(u\)，将它的所有出边抽象成一张图，用一条有向边表示删边的先后关系（即若\(i\rightarrow j\)，则\(j\)必须在选\(i\)后马上选），同时对于\(\forall u\)它们的图都是不相关的。

显然所有的点出度至多为\(1\)，那么这样的图就是很多条链（有些链中间互不影响，所以会有多条），记录一下每一条链的开头和结尾，那么判定一张图合法的情况有一下三种：

图不是由若干条链组成的
第一个点有入边，最后一个点有出边
第一个点和最后一个点在同一条链中，但是有其他的点不在这条链中

和链一样贪心，用并查集判断一下是否合法即可，实现细节详见代码（这题细节是真的多）。

代码

菊花

 链

#include <iostream>

#include <cstdio>

#include <cstdlib>

#include <cstring>

#include <cmath>

#include <algorithm>

using namespace std;

inline int gi() {

    register int data = 0, w = 1;

    register char ch = 0;

    while (!isdigit(ch) && ch != '-') ch = getchar();

    if (ch == '-') w = -1, ch = getchar();

    while (isdigit(ch)) data = 10 * data + ch - '0', ch = getchar();

    return w * data;

}

const int MAX_N = 2e3 + 5;

struct Graph { int to, next; } e[MAX_N << 1];

int fir[MAX_N], e_cnt;

void clearGraph() { memset(fir, -1, sizeof(fir)); e_cnt = 0; }

void Add_Edge(int v, int u) { e[e_cnt] = (Graph){v, fir[u]}, fir[u] = e_cnt++; }

int N, w[MAX_N];

struct Node {

	int deg, beg, end, pa[MAX_N];

	bool st[MAX_N], ed[MAX_N];

	void clear() {

		deg = 0, beg = end = -1;

		for (int i = 0; i <= N; i++) st[i] = ed[i] = 1, pa[i] = i;

	}

	int getf(int x) { while (x != pa[x]) x = pa[x] = pa[pa[x]]; return x; }

} t[MAX_N];

int Find(int x, int id) {

	int res = N + 1;

	if (~id && (t[x].end == -1 || t[x].end == id)) {

		if (t[x].ed[id] && (t[x].beg == -1 || t[x].deg <= 1 || t[x].getf(id) != t[x].getf(t[x].beg))) res = x;

	}

	for (int i = fir[x]; ~i; i = e[i].next) {

		if (id == (i >> 1)) continue;

		int ed = i >> 1;

		if (~id) {

			if (id == t[x].end || ed == t[x].beg || t[x].getf(id) == t[x].getf(ed)) continue;

			if (!t[x].ed[id] || !t[x].st[ed]) continue;

			if (~t[x].beg && ~t[x].end && t[x].deg > 2 &&

				t[x].getf(id) == t[x].getf(t[x].beg) && t[x].getf(ed) == t[x].getf(t[x].end)) continue;

			res = min(res, Find(e[i].to, ed));

		} else {

			if (t[x].beg == -1 || t[x].beg == ed) {

				if (!t[x].st[ed]) continue;

				if (~t[x].end && t[x].deg > 1 && t[x].getf(ed) == t[x].getf(t[x].end)) continue;

				res = min(res, Find(e[i].to, ed));

			}

			else continue;

		}

	}

	return res;

}

bool Link(int x, int id, int p) {

	if (x == p) return t[x].end = id, 1;

	for (int i = fir[x]; ~i; i = e[i].next) {

		if (id == (i >> 1)) continue;

		int ed = i >> 1;

		if (Link(e[i].to, ed, p)) {

			if (~id) {

				t[x].ed[id] = t[x].st[ed] = 0, --t[x].deg;

				t[x].pa[t[x].getf(id)] = t[x].getf(ed);

			}

			else t[x].beg = ed;

			return 1;

		}

	}

	return 0;

}

int main () {

#ifndef ONLINE_JUDGE

    freopen("cpp.in", "r", stdin);

#endif

	int T = gi();

	while (T--) {

		clearGraph();

		N = gi(); for (int i = 1; i <= N; i++) w[i] = gi(), t[i].clear();

		if (N == 1) { puts("1"); continue; }

		for (int i = 1; i < N; i++) {

			int u = gi(), v = gi();

			Add_Edge(u, v), Add_Edge(v, u);

			++t[u].deg, ++t[v].deg;

		}

		for (int i = 1; i <= N; i++) {

			int p = Find(w[i], -1);

			Link(w[i], -1, p);

			printf("%d ", p);

		}

		putchar('\n');

	}

    return 0;

}

巴特西

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