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M斐波那契数列

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Problem Description

M斐波那契数列F[n]是一种整数数列，它的定义如下：

F[0] = a
F[1] = b
F[n] = F[n-1] * F[n-2] ( n > 1 )

现在给出a, b, n，你能求出F[n]的值吗？

Input

输入包含多组测试数据；
每组数据占一行，包含3个整数a, b, n（ 0 <= a, b, n <= 10^9 ）

Output

对每组测试数据请输出一个整数F[n]，由于F[n]可能很大，你只需输出F[n]对1000000007取模后的值即可，每组数据输出一行。

Sample Input

0 1 0
6 10 2

Sample Output

0
60

Source

2013金山西山居创意游戏程序挑战赛——初赛（2）

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题解：

1.可知f[n]中a、b的指数符合斐波那契数列，因而可用矩阵快速幂求出。

2.然而如果指数不求模，也可能会溢出。但指数又怎样求模呢？

有如下定理：当m为素数，且a、n互质时， a^n % m = a^(n%(m-1)) % m。

证明：

根据费马小定理，当m为素数，且a、p互质时， a^(m-1) ≡ 1 (mod m)，

a^n = a^(k*(m-1)+r) = (a^(m-1))^k * a^r，其中 r = n%(m-1)，

那么 a^n % m = ( (a^(m-1))^k * a^r ) % m = (a^(m-1))^k % m * a^r % m = 1 * a^r % m = a^(n%(m-1)) % m 。

所以：当m为素数，且a、n互质时， a^n % m = a^(n%(m-1)) % m 。

代码如下：

 #include <iostream>

 #include <cstdio>

 #include <cstring>

 #include <algorithm>

 #include <vector>

 #include <cmath>

 #include <queue>

 #include <stack>

 #include <map>

 #include <string>

 #include <set>

 using namespace std;

 typedef long long LL;

 const int INF = 2e9;

 const LL LNF = 9e18;

 const int MOD = ;

 const int MAXN = 1e6+;

 const int Size = ;

 struct MA

 {

     LL mat[Size][Size];

     void init()

     {

         for(int i = ; i<Size; i++)

         for(int j = ; j<Size; j++)

             mat[i][j] = (i==j);

     }

 };

 MA mul(MA x, MA y)

 {

     MA ret;

     memset(ret.mat, , sizeof(ret.mat));

     for(int i = ; i<Size; i++)

     for(int j = ; j<Size; j++)

     for(int k = ; k<Size; k++)

         ret.mat[i][j] += (1LL*x.mat[i][k]*y.mat[k][j])%(MOD-), ret.mat[i][j] %= (MOD-);

     return ret;

 }

 MA qpow(MA x, LL y)

 {

     MA s;

     s.init();

     while(y)

     {

         if(y&) s = mul(s, x);

         x = mul(x, x);

         y >>= ;

     }

     return s;

 }

 LL q_pow(LL x, LL y)

 {

     LL s = ;

     while(y)

     {

         if(y&) s *= x, s %= MOD;

         x *= x, x %= MOD;

         y >>= ;

     }

     return s;

 }

 MA tmp = {

     , ,

     ,

 };

 int main()

 {

     LL f[], n;

     while(scanf("%lld%lld%lld",&f[],&f[],&n)!=EOF)

     {

         if(n<=)

         {

             printf("%lld\n", f[n]%MOD);

             continue;

         }

         MA s = tmp;

         s = qpow(s, n-);

         LL p1 = s.mat[][];

         LL p2 = s.mat[][];

         LL ans = q_pow(f[], p2)*q_pow(f[], p1)%MOD;

         printf("%lld\n", ans);

     }

 }

巴特西

HDU4549 M斐波那契数列 —— 斐波那契、费马小定理、矩阵快速幂

M斐波那契数列

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