1.  概述

位图（bitmap）是一种很经常使用的结构，在索引。数据压缩等方面有广泛应用。

本文介绍了位图的实现方法及其应用场景。

2. 位图实现

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（1）自己实现

在位图中。每一个元素为“0”或“1”，表示其相应的元素不存在或者存在。

#define INT_BITS sizeof(int)

#define SHIFT 5 // 2^5=32

#define MASK 0x1f // 2^5=32

#define MAX 1024*1024*1024 //max number

int bitmap[MAX / INT_BITS];

/*

* 设置第i位

* i >> SHIFT 相当于 i / (2 ^ SHIFT),

* i&MASK相当于mod操作 m mod n 运算

*/

void set(int i) {

bitmap[i >> SHIFT] |= 1 << (i & MASK);

}

//获取第i位

int test(int i) {

return bitmap[i >> SHIFT] & (1 << (i & MASK));

}

//清除第i位

int clear(int i) {

return bitmap[i >> SHIFT] & ~(1 << (i & MASK));

}

（2）函数库实现

C++的STL中有bitmap类，它提供了非常多方法。详见：http://www.cplusplus.com/reference/stl/bitset/

3.  位图应用

3.1    枚举

（1）全组合

字符串全组合枚举（对于长度为n的字符串，组合方式有2^n种）。如：abcdef,能够构造一个从字符串到二进制的映射关系，通过枚举二进制来进行全排序。

null——> 000000

f——> 000001

e——> 000010

ef——> 000011

……

abcedf——> 111111

（2）哈米尔顿距离

枚举算法，复杂度是O(N^2)，如何减少复杂度呢？

假设是N 个二维的点，那么我们能够怎么用较快的方法求出

通过简单的数学变形。我们能够得到这种数学公式：

通过观察，我们发现每一对同样元的符号必然相反，如：x_i-y_i，于是我们有了一个二进制思想的思路，那就是枚举这些二i维的点的x 轴y 轴前的正负号，这样就能够用一个0~3 的数的二进制形式来表示每一个元素前面的正负号。1表示+号。0表示−号，如：2 表示的二进制位形式为10表示x_i-y_i。这样我们就能够通过2^2*N次记录下这些二元组的不同的符号的数值，对于每一个二进制来表示的不同的式子仅仅需记录下他们的值，这样我们仅仅需求max_i 和min_i出这些同样的二进制表示的式子max_i –min_i。最后我们就能够解出ans=max{max_i-min_i}。

通过位图，算法时间复杂度可将为O(N)。

3.2   搜索

设计搜索剪枝时，须要保存已经搜索过的历史信息，有些情况下，能够使用位图减小历史信息数据所占空间。

3.3 压缩

（1）在2.5亿个整数中找出不反复的整数，注，内存不足以容纳这2.5亿个整数？

（2）腾讯面试题：给40亿个不反复的unsigned int的整数，没排过序的，然后再给一个数。怎样高速推断这个数是否在那40亿个数其中？

4. 总结

Bitmap是一种很简洁高速的数据结构，他能同使证存储空间和速度最优化（而不必空间换时间）。

5.  參考资料

（1）《C实现bitmap位图》：http://www.jb51.net/article/54438.htm

（2）武森《浅谈信息学竞赛中的“0”和“1”》