题面

医学界发现的新病毒因其蔓延速度和Internet上传播的"红色病毒"不相上下,被称为"红色病毒",经研究发现,该病毒及其变种的DNA的一条单链中,胞嘧啶,腺嘧啶均是成对出现的。

现在有一长度为N的字符串,满足一下条件:

(1) 字符串仅由A,B,C,D四个字母组成;

(2) A出现偶数次(也可以不出现);

(3) C出现偶数次(也可以不出现);

计算满足条件的字符串个数.

当N=2时,所有满足条件的字符串有如下6个:BB,BD,DB,DD,AA,CC.

由于这个数据肯能非常庞大,你只要给出最后两位数字即可.

Input

每组输入的第一行是一个整数T,表示测试实例的个数,下面是T行数据,每行一个整数N(1<=N<2^64),当T=0时结束.

Output

对于每个测试实例,输出字符串个数的最后两位,每组输出后跟一个空行.

题解

这题要用指数型母函数来推结论，出现随意次对应的函数是 $A(x)=1+\frac{x}{1!}+\frac{x^2}{2!} +...=e^x$ ，“出现偶数次”所对应的函数是 $B(x)=1+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}+...=\frac{(1+\frac{x}{1!}+\frac{x^2}{2!}...)+(1-\frac{x}{1!}+\frac{x^2}{2!}...)}{2}=\frac{e^x+e^{-x}}{2}$ ，

最终的答案函数就是 $A(x)^2B(x)^2=e^{2x}(\frac{e^x+e^{-x}}{2})^2=\frac{e^{4x}+2e^{2x}+1}{4}$ ，因为 $e^x=\sum_{i=0}^{\infty }\frac{x^i}{i!}$ ，所以第N项的系数乘N!即答案就是 $N!\frac{4^N+2*2^N}{4(N!)}=4^{N-1}+2^{N-1}$ 。

我们用unsigned long long 存N，然后用快速幂就行。

ＣＯＤＥ

/*

#pragma GCC optimize(2)

#pragma GCC optimize(3)

#pragma GCC optimize("Ofast")

#pragma GCC optimize("inline")

#pragma GCC optimize("-fgcse")

#pragma GCC optimize("-fgcse-lm")

#pragma GCC optimize("-fipa-sra")

#pragma GCC optimize("-ftree-pre")

#pragma GCC optimize("-ftree-vrp")

#pragma GCC optimize("-fpeephole2")

#pragma GCC optimize("-ffast-math")

#pragma GCC optimize("-fsched-spec")

#pragma GCC optimize("unroll-loops")

#pragma GCC optimize("-falign-jumps")

#pragma GCC optimize("-falign-loops")

#pragma GCC optimize("-falign-labels")

#pragma GCC optimize("-fdevirtualize")

#pragma GCC optimize("-fcaller-saves")

#pragma GCC optimize("-fcrossjumping")

#pragma GCC optimize("-fthread-jumps")

#pragma GCC optimize("-funroll-loops")

#pragma GCC optimize("-fwhole-program")

#pragma GCC optimize("-freorder-blocks")

#pragma GCC optimize("-fschedule-insns")

#pragma GCC optimize("inline-functions")

#pragma GCC optimize("-ftree-tail-merge")

#pragma GCC optimize("-fschedule-insns2")

#pragma GCC optimize("-fstrict-aliasing")

#pragma GCC optimize("-fstrict-overflow")

#pragma GCC optimize("-falign-functions")

#pragma GCC optimize("-fcse-skip-blocks")

#pragma GCC optimize("-fcse-follow-jumps")

#pragma GCC optimize("-fsched-interblock")

#pragma GCC optimize("-fpartial-inlining")

#pragma GCC optimize("no-stack-protector")

#pragma GCC optimize("-freorder-functions")

#pragma GCC optimize("-findirect-inlining")

#pragma GCC optimize("-fhoist-adjacent-loads")

#pragma GCC optimize("-frerun-cse-after-loop")

#pragma GCC optimize("inline-small-functions")

#pragma GCC optimize("-finline-small-functions")

#pragma GCC optimize("-ftree-switch-conversion")

#pragma GCC optimize("-foptimize-sibling-calls")

#pragma GCC optimize("-fexpensive-optimizations")

#pragma GCC optimize("-funsafe-loop-optimizations")

#pragma GCC optimize("inline-functions-called-once")

#pragma GCC optimize("-fdelete-null-pointer-checks")

//优化

*/

#include<cstdio>

#include<iostream>

#include<cstring>

#include<cmath>

#include<algorithm>

#define LL long long

#define ULL unsigned long long

using namespace std;

inline int read() {

    int f = 1,x = 0;char s = getchar();

    while(s < '0' || s > '9') {if(s == '-') f = -1;s = getchar();}

    while(s >= '0' && s <= '9') {x = x * 10 + s - '0';s = getchar();}

    return x * f;

}

inline ULL readu() {

    ULL x = 0;char s = getchar();

    while(s < '0' || s > '9') {s = getchar();}

    while(s >= '0' && s <= '9') {x = x * 10 + s - '0';s = getchar();}

    return x;

}

int mod = 100;

int n,m,q,i,j,s,o,k;

ULL N;

LL qkpow(LL a,ULL b) {

    LL res = 1;

    while(b) {

        if(b&1) res = 1ll*res*a % mod;

        b >>= 1;

        a=1ll*a*a%mod;

    }

    return res % mod;

}

int main() {

    bool flag = 0;

    int T;

    while(T = read()) {

        int tt = 0;

        while(T --){

            N = readu();

//            printf("%llu\n",N);

            LL ans = (qkpow(4ll,N-1) + qkpow(2ll,N-1)) % mod;

            printf("Case %d: %lld\n",++tt,ans);

        }

        flag = 1;

        if(flag) putchar('\n');

    }

    return 0;

}

巴特西

HDU2065 “红色病毒”问题（指数型母函数经典板题）

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