动态规划入门(dp)
2024-08-28 21:08:59
dp的基本思想,是把大问题转化成一个个小问题,然后递归解决。
所以本质思想的话还是递归。
dp最重要的是要找到状态转移方程,也就是把大问题化解的过程。
举个例子
一个数字金字塔
在上面的数字三角形中寻找一条从顶部到底边的路径,使得路径上所经过的数字之和最大。路径上的每一步都只能往左下或 右下走。只需要求出这个最大和即可,不必给出具体路径。 三角形的行数大于1小于等于100,数字为 0 - 99.
这个题不难想到,你只要找出每一步的最大值就可以。·
那么这么找呢?(递归啊~)
我们先看看状态转移方程
/*
首先,肯定得用二维数组来存放数字三角形 然后我们用D( r, j) 来表示第r行第 j 个数字(r,j从1开始算) 我们用MaxSum(r, j)表示从D(r,j)到底边的各条路径中,最佳路径的数字之和。 因此,此题的最终问题就变成了求 MaxSum(1,1) 当我们看到这个题目的时候,首先想到的就是可以用简单的递归来解题: D(r, j)出发,下一步只能走D(r+1,j)或者D(r+1, j+1)。故对于N行的三角形,我们可以写出如下的递归式:
*/
if ( r == N)
MaxSum(r,j) = D(r,j)
else
MaxSum( r, j) = Max{ MaxSum(r+,j), MaxSum(r+,j+) } + D(r,j)
那么是不是就可以了?
#include <iostream>
#include <algorithm>
#define MAX 101
using namespace std;
int D[MAX][MAX];
int n;
int MaxSum(int i, int j){
if(i==n)
return D[i][j];
int x = MaxSum(i+,j);
int y = MaxSum(i+,j+);
return max(x,y)+D[i][j];
}
int main(){
int i,j;
cin >> n;
for(i=;i<=n;i++)
for(j=;j<=i;j++)
cin >> D[i][j];
cout << MaxSum(,) << endl;
}
但实际上,这个代码会超时的。
为什么呢,
因为已经走过的路,存在重复遍历了
那就把已经遍历过的做一下标记,就可以避免重复遍历了。
#include <iostream>
#include <algorithm>
using namespace std; #define MAX 101 int D[MAX][MAX];
int n;
int maxSum[MAX][MAX]; int MaxSum(int i, int j){
if( maxSum[i][j] != - )
return maxSum[i][j]; //如果是-1那说明这个肯定不是目标,直接回去就行了
if(i==n)
maxSum[i][j] = D[i][j];
else{
int x = MaxSum(i+,j);
int y = MaxSum(i+,j+);
maxSum[i][j] = max(x,y)+ D[i][j];
}
return maxSum[i][j];
}
int main(){
int i,j;
cin >> n;
for(i=;i<=n;i++)
for(j=;j<=i;j++) {
cin >> D[i][j];
maxSum[i][j] = -; //这里把所有的都设置为-1 }
cout << MaxSum(,) << endl;
}
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