vjudge CountTables/2018雅礼集训方阵 dp 斯特林反演

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神题！

首先单独考虑行不同的情况

设\(f_i\)表示此时有i列且行都不同.

那么显然有 \(f_i=(c^i)^\underline{n}\)

考虑设\(g_i\)表示此时有i列且行列都不同.

考虑将\(g_i\)和\(f_i\)联系起来.

那么对于 \(f_m\) 考虑其有k列是本质不同的

那么有m-k列重复出现的考虑把这m-k列给缩起来就变成了 n行k列且行列都不同的矩阵了.

而且可以发现对于n行k列且行列都不同的矩阵和有k列本质不同且不讲究分配顺序下是一一映射的关系.

那么有 \(f_m=\sum_{k=0}^m\begin {Bmatrix} m \\ k\end {Bmatrix}\cdot g_k\)

然后直接斯特林反演.(和二项式反演似乎差不多.

\(g_m=\sum_{k=0}^m(-1)^{m-k}\left[\begin{matrix}m\\k\end{matrix}\right]f_k\)

然后就做完了复杂度n^2.

code

//#include<bits/stdc++.h>

#include<iostream>

#include<cstdio>

#include<ctime>

#include<cctype>

#include<queue>

#include<deque>

#include<stack>

#include<iostream>

#include<iomanip>

#include<cstdio>

#include<cstring>

#include<string>

#include<ctime>

#include<cmath>

#include<cctype>

#include<cstdlib>

#include<queue>

#include<deque>

#include<stack>

#include<vector>

#include<algorithm>

#include<utility>

#include<bitset>

#include<set>

#include<map>

#define ll long long

#define db double

#define INF 10000000000000000ll

#define inf 1000000000

#define ldb long double

#define pb push_back

#define put_(x) printf("%d ",x);

#define get(x) x=read()

#define gt(x) scanf("%d",&x)

#define gi(x) scanf("%lf",&x)

#define put(x) printf("%d\n",x)

#define putl(x) printf("%lld\n",x)

#define rep(p,n,i) for(RE int i=p;i<=n;++i)

#define go(x) for(int i=lin[x],tn=ver[i];i;tn=ver[i=nex[i]])

#define fep(n,p,i) for(RE int i=n;i>=p;--i)

#define vep(p,n,i) for(RE int i=p;i<n;++i)

#define pii pair<int,int>

#define mk make_pair

#define RE register

#define P 1000000007ll

#define gf(x) scanf("%lf",&x)

#define pf(x) ((x)*(x))

#define uint unsigned long long

#define ui unsigned

#define EPS 1e-10

#define sq sqrt

#define S second

#define F first

#define mod 1000000007

using namespace std;

char *fs,*ft,buf[1<<15];

inline char gc()

{

	return (fs==ft&&(ft=(fs=buf)+fread(buf,1,1<<15,stdin),fs==ft))?0:*fs++;

}

inline int read()

{

	RE int x=0,f=1;RE char ch=gc();

	while(ch<'0'||ch>'9'){if(ch=='-')f=-1;ch=gc();}

	while(ch>='0'&&ch<='9'){x=x*10+ch-'0';ch=gc();}

	return x*f;

}

const int MAXN=4010;

int n,m,c;

int f[MAXN];

int s[MAXN][MAXN];

inline int ksm(int b,int p)

{

	int cnt=1;

	while(p)

	{

		if(p&1)cnt=(ll)cnt*b%mod;

		b=(ll)b*b%mod;p=p>>1;

	}

	return cnt;

}

class CountTables

{

	public:

	//freopen("1.in","r",stdin);

	inline int howMany(int n,int m,int c){

	s[0][0]=1;

	rep(1,m,i)rep(1,i,j)s[i][j]=(s[i-1][j-1]+(i-1)*(ll)s[i-1][j])%mod;

	rep(1,m,i)

	{

		int ww=ksm(c,i);f[i]=1;

		for(int j=ww-n+1;j<=ww;++j)f[i]=(ll)f[i]*j%mod;

	}

	//put(f[m]);

	int ans=0;

	rep(0,m,k)

	{

		int op=((m-k)&1)?-1:1;

		ans=(ans+op*s[m][k]*(ll)f[k])%mod;

	}

	ans=(ans+mod)%mod;

	return ans;

}

};

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