HDU 4893 Wow! Such Sequence!(2014年多校联合第三场 G)（线段树）

磨了一天的线段树，不能说完全搞清楚，只能说有一个大概的了解，靠着模板才把这道题A了，只能说太弱~~！

题意：

初始时有一字符串，全为0.

三种操作：

1 k d - add 把d加到第k个数上去
2 l r - query sum 计算l到r所有数的和
3 l r - change to nearest Fibonacci 把l到r的数修改为距离它最近的斐波那契数

节点附件三个值：

s1:由lazy控制的区间的正确的和。

s2:区间内与所有数相近的fib数之和，随着单点更新而更新。

col:lazy,标记区间是否全部取fib数，是取1，否则取0。

询问区间的和时，找到相应区间直接返回s1,若有col为1的区间要先向下推送，表示要取该区间的fib数的和。

代码以及详解：

 #include<stdio.h>

 #include<math.h>

 #include<algorithm>

 using namespace std;

 const int maxm=;

 long long f[]= {,};

 struct node

 {

     long long e,f;

     int flag;

 }a[maxm<<];

 void pushup(int rt)

 {

     a[rt].e=a[*rt].e+a[*rt+].e;

     a[rt].f=a[*rt].f+a[*rt+].f;

 }

 void pushdown(int rt)

 {

     if(a[rt].flag)

     {

         a[*rt].flag=;

         a[*rt+].flag=;

         a[*rt].e=a[*rt].f;

         a[*rt+].e=a[*rt+].f;

         a[rt].flag=;

     }

 }

 //建树

 void build(int l,int r,int rt)

 {

     a[rt].flag=;//先都初始化为0

     a[rt].e=;//区间和初始化为0

     if(l==r)//如果只有一个元素

     {

         a[rt].f=;//该节点的斐波那契数记为1，因为此时距离a[rt].e最近的斐波那契数为1

         return;

     }

     int m=(l+r)/;//递归构造左右子树

     build(l,m,rt<<);

     build(m+,r,rt<<|);

     pushup(rt);//回溯更新父节点

 }

 void add(int pos,int m,int l,int r,int rt)

 {//要修改的元素的位置是pos，加数为m

     if(pos<l||pos>r)//如果pos不在区间范围内，则返回

         return ;

     if(l==r)//找到那个节点了

     {

         if(a[rt].flag)//如果这个节点是被处理过的，就是说它以及它的子孩子都已经是离它最近的斐波那契数了

         {

             a[rt].e=m+a[rt].f;//该节点的区间和为该节点的斐波那契数+m

             a[rt].flag=;//由于节点的值已经修改过了，所以当前的a[rt].f不一定是正确的值了

         }

         else

             a[rt].e+=m;//没有被处理过，直接相加就好了

         int p=lower_bound(f,f+,a[rt].e)-f;//二分查找：p是小于a[rt].e的第一个数

         if(!p)//如果不存在比a[rt].f大的数，那么离它最近的斐波那契数就是1了

             a[rt].f=;

         else if(abs(a[rt].e-f[p])<abs(a[rt].e-f[p-]))//比较第p个数和p-1个数哪个离a[rt].e近，把a[rt].f赋为较近的那个

             a[rt].f=f[p];

         else

             a[rt].f=f[p-];

         return;

     }

     pushdown(rt);//延迟标记法，判断孩子节点是否需要更新，需要更新就更新

     int mid=(l+r)/;

     if(pos<=mid)

         add(pos,m,l,mid,*rt);

     else

         add(pos,m,mid+,r,*rt+);

     pushup(rt);//回溯更新根节点

 }

 //将l到r的数赋为离他最近的斐波那契数

 void change(int L,int R,int l,int r,int rt)

 {

     if(R<l||L>r)

         return;

     if (L <= l && r <= R)

     {

         a[rt].e=a[rt].f;//将e的值修改为f的值

         a[rt].flag=;//标记修改过了

         return ;

     }

     pushdown(rt);//向下更新子节点

     int m = (l + r) >> ;

     if (L <= m) change(L , R, l,m,rt<<);

     if (m < R) change(L , R ,m+,r,rt<<|);

     pushup(rt);//回溯更新父节点

 }

 //计算l到r个数的和

 long long query(int L,int R,int l,int r,int rt)

 {

     if(R<l||L>r)

         return ;

     else if (L <= l && r <= R)

     {

         return a[rt].e;

     }

     pushdown(rt);//向下更新子节点

     int m = (l + r) >> ;

     long long ret = ;

     if (L <= m) ret += query(L , R , l,m,rt*);

     if (m < R) ret += query(L , R , m+,r,rt*+);

     return ret;

 }

 int main()

 {

     int n,m,i,op;

     int l,r;

     int k,d;

     for(i=; i<=; i++)//打出斐波那契表

         f[i]=f[i-]+f[i-];

     while(scanf("%d%d",&n,&m)!=EOF)

     {

         build(,n,);//建树

         while(m--)//m种操作

         {

             scanf("%d",&op);

             if(op==)

             {

                 scanf("%d%d",&k,&d);

                 add(k,d,,n,);//给第k个数加上d；

             }

             else

             {

                 scanf("%d%d",&l,&r);

                 if(op==)

                     printf("%I64d\n",query(l,r,,n,));//计算l到r个数的和

                 else

                     change(l,r,,n,);//将l到r的数赋为离他最近的斐波那契数

             }

         }

     }

     return ;

 }

现附上线段树的一些基本概念以及两个常用模板：

线段树详解

1.概述

线段树类似区间树，是一个完全二叉树，它在各个节点保存一条线段（数组中的一段子数组），主要用于高效解决连续区间的动态查询问题，每个操作的复杂度为O（lgN）。

线段树的性质：若父区间是[a,b].(c=(a+b)/2),左儿子区间为[a,c],右儿子区间为[c+1,b],线段树需要的空间是数组大小的四倍。

2.基本操作

（1）线段树的构造(void build(int node,int begin,int end);)

运用递归的思想，如果当前结点记录的区间只有一个值，则直接赋值，否则递归左右子树。

代码如下：

#include <iostream>

using namespace std;

const int maxind = 256;

int segTree[maxind * 4 + 10]; //用来存储线段树，大小要大于原数组的四倍

int array[maxind];

/* 构造函数，得到线段树 */

void build(int node, int begin, int end)//node记录的是线段树的节点号

{

if (begin == end)

segTree[node] = array[begin]; /* 只有一个元素,节点记录该单元素 */

else

{

/*递归构造左右子树 */

build(2*node, begin, (begin+end)/2);//构造左孩子

build(2*node+1, (begin+end)/2+1, end);//构造右孩子

/*回溯时得到当前node节点的线段信息 */

if(segTree[2 * node] <= segTree[2 * node + 1])//把较小的数赋给左孩子

segTree[node] = segTree[2 * node];

else

segTree[node] = segTree[2 * node + 1];

}

int main()

{

array[0] = 1, array[1] = 2,array[2] = 2, array[3] = 4, array[4] = 1, array[5] = 3;

build(1, 0, 5);

for(int i = 1; i<=20; ++i)

cout<< "seg"<< i << "=" <<segTree[i] <<endl;

return 0;

}

（2）区间查询(int query(int node,int begin,int end,int left,int right);)

主要思想是把所要查询的区间[a,b],划分为线段树上的结点，然后将这些结点代表的区间合并起来得到所需要的信息。

代码如下：

//其中node为当前查询结点，begin，end为当前存储的区间，left，right为此次query所要查询的区间。

int query(int node, int begin, int end, int left, int right)

{

int p1, p2;

/* 查询区间和要求的区间没有交集 */

if (left > end || right < begin)

return -1;

/* 如果当前区间在查询区间内，返回该节点的值*/

if (begin >= left && end <= right)

return segTree[node];

/* 比较左右子树两个节点值的最小值 */

p1 = query(2 * node, begin, (begin + end) / 2, left, right);

p2 = query(2 * node + 1, (begin + end) / 2 + 1, end, left, right);

if (p1 == -1)

return p2;

if (p2 == -1)

return p1;

if (p1 <= p2)

return p1;

return p2;

}

这样的过程一定选出了尽量少的区间，他们连后一定涵盖整个[left,right],没有重复也没有遗漏，线段树并不适合所有区间查询情况，它使用的条件是“相邻区间的信息可以被合并成两个区间合并的信息”，即问题是可以被分解解决的。

（3）区间或结点的更新及线段树的动态维护（线段树的核心价值所在）

A.单节点更新

void Updata(int node, int begin, int end, int ind, int add)/*单节点更新*/

{

if( begin == end )

{

segTree[node] += add;

return ;

}

int m = ( left + right ) >> 1;

if(ind <= m)

Updata(node * 2,left, m, ind, add);

else

Updata(node * 2 + 1, m + 1, right, ind, add);

/*回溯更新父节点*/

segTree[node] = min(segTree[node * 2], segTree[node * 2 + 1]);

}

B.区间更新（线段树中最有用的）

需要用到延迟标记，每个节点新增加一个标记，用来记录这个节点是否被进行了某种修改操作（这种修改操作会影响其子节点），对于任意区间的修改，我们先按照查询的方式将其划分成线段树中的结点，然后修改这些节点中的信息，并给这些节点标上代表这种操作的标记，在修改和查询的时候，如果我们到了一个节点p，并且决定考虑其子节点，那我们就要看p有没有标记，如果有，就按照标记修改其子节点的信息，并且给子节点都标上相同的标记，同时取+消掉p的标记。

代码如下

void Change(node *p, int a, int b) /* 当前考察结点为p，修改区间为(a,b]*/

{

if (a <= p->Left && p->Right <= b)

/* 如果当前结点的区间包含在修改区间内*/

{

...... /* 修改当前结点的信息，并标上标记*/

return;

}

Push_Down(p); /* 把当前结点的标记向下传递*/

int mid = (p->Left + p->Right) / 2; /* 计算左右子结点的分隔点 */

if (a < mid) Change(p->Lch, a, b); /* 和左孩子有交集，考察左子结点*/

if (b > mid) Change(p->Rch, a, b); /* 和右孩子有交集，考察右子结点*/

Update(p); /* 维护当前结点的信息（因为其子结点的信息可能有更改）*/

}

线段树的主要运用：

1.区间最值查询问题：模板一；

2.连续区间修改或者单节点更新的动态查询问题：模板二；

3.多维空间的动态查询：模板三；

典型模板：

模板一：查询区间最值下标：

#include <iostream>

#include <string.h>

using namespace std;

#define maxind 256 //线段树节点个数

void build(int node,int b,int e,int m[],int a[])

{

if(b==e)

m[node]=b;//只有一个元素

else

{

build(2*node,b,(b+e)/2,m,a);

build(2*node+1,(b+e)/2+1,e,m,a);

if(a[m[2*node]]<=a[m[2*node+1]])

m[node]=m[2*node];

else

m[node]=m[2*node+1];

}

int query(int node,int b,int e,int m[],int a[],int i,int j)

{

int p1,p2;

if(i>e||j<b)

return -1;

if(b>=i&&e<=j)

return m[node];

p1=query(2*node,b,(b+e)/2,m,a,i,j);

p2=query(2*node+1,(b+e)/2+1,e,m,a,i,j);

if(p1==-1)

return m[node]=p2;

if(p2==-1)

return m[node]=p1;

if(a[p1]<=a[p2])

return m[node]=p1;

else

return m[node]=p2;

}

int main()

{

int l,r;//查询区间

scanf("%d%d",&l,&r);

int m[maxind];//下标从1起才有意义，否则不是二叉树

//保存下标编号结点对应区间最小值的下标

memset(m,-1,sizeof(m));

int a[]={3,4,5,7,2,1,0,3,4,5};

build(1,0,sizeof(a)/sizeof(a[0])-1,m,a);

cout<<query(1,0,sizeof(a)/sizeof(a[0])-1,m,a,l,r)<<endl;

return 0;

}

模板二：

#include<stdio.h>

#include<algorithm>

using namespace std;

const int maxm=111111;

long long add[maxm<<2];

long long sum[maxm<<2];

void pushup(int rt)

{

sum[rt]=sum[rt<<1]+sum[rt<<1|1];

}

void pushdown(int rt,int m)

{

if(add[rt])

{

add[rt<<1] += add[rt];

add[rt<<1|1] += add[rt];

sum[rt<<1] += add[rt] * (m - (m >> 1));

sum[rt<<1|1] += add[rt] * (m >> 1);

add[rt] = 0;

}

void build(int l,int r,int rt)

{

add[rt]=0;

if(l==r)

{

scanf("%lld",&sum[rt]);

return;

}

int m=(l+r)/2;

build(l,m,rt<<1);

build(m+1,r,rt<<1|1);

pushup(rt);

}

void update(int L,int R,int c,int l,int r,int rt) {

if (L <= l && r <= R) {

add[rt] += c;

sum[rt] += (long long)c * (r - l + 1);

return ;

}

pushdown(rt , r - l + 1);

int m = (l + r) >> 1;

if (L <= m) update(L , R , c , l,m,rt<<1);

if (m < R) update(L , R , c , m+1,r,rt<<1|1);

pushup(rt);

}

long long query(int L,int R,int l,int r,int rt) {

if (L <= l && r <= R) {

return sum[rt];

}

pushdown(rt , r - l + 1);

int m = (l + r) >> 1;

long long ret = 0;

if (L <= m) ret += query(L , R , l,m,rt<<1);

if (m < R) ret += query(L , R , m+1,r,rt<<1|1);

return ret;

}

int main()

{

int n,q;

scanf("%d%d",&n,&q);

build(1,n,1);

while(q--)

{

char op[2];

int a,b,c;

scanf("%s",op);

if(op[0]=='Q'){

scanf("%d%d",&a,&b);

printf("%lld\n",query(a,b,1,n,1));

}

else

{

scanf("%d%d%d",&a,&b,&c);

update(a,b,c,1,n,1);

}

return 0;

}

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