Bzoj 2154: Crash的数字表格(积性函数)

2154: Crash的数字表格

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Description

今天的数学课上，Crash小朋友学习了最小公倍数(Least Common Multiple)。对于两个正整数a和b，LCM(a, b)表示能同时被a和b整除的最小正整数。例如，LCM(6, 8) = 24。回到家后，Crash还在想着课上学的东西，为了研究最小公倍数，他画了一张N*M的表格。每个格子里写了一个数字，其中第i行第j列的那个格子里写着数为LCM(i, j)。一个4*5的表格如下： 1 2 3 4 5 2 2 6 4 10 3 6 3 12 15 4 4 12 4 20 看着这个表格，Crash想到了很多可以思考的问题。不过他最想解决的问题却是一个十分简单的问题：这个表格中所有数的和是多少。当N和M很大时，Crash就束手无策了，因此他找到了聪明的你用程序帮他解决这个问题。由于最终结果可能会很大，Crash只想知道表格里所有数的和mod 20101009的值。

Input

输入的第一行包含两个正整数，分别表示N和M。

Output

输出一个正整数，表示表格中所有数的和mod 20101009的值。

Sample Input

4 5

Sample Output

122

【数据规模和约定】

100%的数据满足N, M ≤ 10^7。

/*

积性函数.

   n   m

求∑  ∑lcm(i,j).

  i=1 j=1

推一波式子.

ans=∑(s[n/i]*s[m/i]f[i]).

s[i]=(i*(i+1)/2).

f[i]=i*∑u(d)*d.

     d|i

然后主要问题就是怎么求f[i]了.

这个东西是积性函数.

筛一下就好了.

复杂度O(n).

算答案的时候不用除法分块可能过不了?

也许是我写的常数比较大吧...

*/

#include<iostream>

#include<cstdio>

#define LL long long

#define MAXN 10000010

#define mod 20101009

#define ni 10050505

using namespace std;

int pri[MAXN],tot,sum[MAXN];

LL n,m,ans,f[MAXN],s[MAXN];

bool vis[MAXN];

void pre()

{

    f[1]=1;

    for(int i=2;i<=n;i++)

      {

        if(!vis[i]) pri[++tot]=i,f[i]=1-i;

        for(int j=1;j<=tot&&i*pri[j]<=n;j++)

        {

            vis[i*pri[j]]=true;

            if(i%pri[j]) f[i*pri[j]]=(f[i]*f[pri[j]])%mod;

            else

            {

                f[i*pri[j]]=f[i];

                break;

            }

        }

      }

    for(LL i=1;i<=n;i++) sum[i]=(sum[i-1]+f[i]*i)%mod;

}

void slove()

{

    int last;

    for(LL i=1;i<=n;i++) s[i]=((i*(i+1))%mod*ni)%mod;

    for(LL i=1;i<=m;i=last+1)

    {

        last=min(n/(n/i),m/(m/i));

        ans=(ans+(s[n/i]%mod*s[m/i]%mod*(LL)(sum[last]-sum[i-1]))%mod+mod)%mod;

    }

    cout<<ans;

}

int main()

{

    cin>>n>>m;

    if(n<m) swap(n,m);

    pre();slove();

    return 0;

}

巴特西

Bzoj 2154: Crash的数字表格(积性函数)

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