[Usaco2005 Jan]Sumsets 求和

Description

Farmer John commanded his cows to search for different sets of numbers that sum to a given number. The cows use only numbers that are an integer power of 2. Here are the possible sets of numbers that sum to 7: 1) 1+1+1+1+1+1+1 2) 1+1+1+1+1+2 3) 1+1+1+2+2 4) 1+1+1+4 5) 1+2+2+2 6) 1+2+4 Help FJ count all possible representations for a given integer N (1 <= N <= 1,000,000).

给出一个N(1≤N≤10^6)，使用一些2的若干次幂的数相加来求之．问有多少种方法

Input

一个整数N.

Output

方法数．这个数可能很大，请输出其在十进制下的最后9位．

Sample Input

7

Sample Output

6

HINT

1+1+1+1+1+1+1
1+1+1+1+1+2
1+1+1+2+2
1+1+1+4
1+2+2+2
1+2+4

考虑到n不大，所以我们可以直接用完全背包，复杂度应该是\(O(n\ln n)\)级别

其实发现奇数只能通过偶数+1得到，而偶数可以通过奇数+1，也可以通过其折半的偶数翻倍得来，因此得到方程

\[f[i]=\begin{cases} f[i-1]&,i\%2=1\\ f[i-1]+f[i/2]&,i\%2=0\end{cases}
\]

复杂度\(O(n)\)

/*program from Wolfycz*/

#include<cmath>

#include<cstdio>

#include<cstring>

#include<iostream>

#include<algorithm>

#define inf 0x7f7f7f7f

using namespace std;

typedef long long ll;

typedef unsigned int ui;

typedef unsigned long long ull;

inline char gc(){

	static char buf[1000000],*p1=buf,*p2=buf;

	return p1==p2&&(p2=(p1=buf)+fread(buf,1,1000000,stdin),p1==p2)?EOF:*p1++;

}

inline int frd(){

	int x=0,f=1;char ch=gc();

	for (;ch<'0'||ch>'9';ch=gc())	if (ch=='-')    f=-1;

	for (;ch>='0'&&ch<='9';ch=gc())	x=(x<<1)+(x<<3)+ch-'0';

	return x*f;

}

inline int read(){

	int x=0,f=1;char ch=getchar();

	for (;ch<'0'||ch>'9';ch=getchar())	if (ch=='-')	f=-1;

	for (;ch>='0'&&ch<='9';ch=getchar())	x=(x<<1)+(x<<3)+ch-'0';

	return x*f;

}

inline void print(int x){

	if (x<0)    putchar('-'),x=-x;

	if (x>9)	print(x/10);

	putchar(x%10+'0');

}

const int N=1e6,p=1e9;

int f[N+10];

int main(){

	int n=frd(); f[0]=1;

	for (register int i=1;i<=n;i+=2)	f[i]=f[i-1],f[i+1]=(f[i]+f[(i+1)>>1])%p;

	printf("%d\n",f[n]);

	return 0;

}

巴特西

[Usaco2005 Jan]Sumsets 求和

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