bzoj5483: [Usaco2018 Dec]Balance Beam
2024-08-30 13:04:24
又又又又又又又被踩爆了
首先容易写出这样的期望方程:f(1)=max(d(1),f(2)/2),f(n)=max(d(n),f(n-1)/2), f(i)=max(d(i),(f(i-1)+f(i+1))/2),d是直接下来的收益
令S(i)等于后面那一个东西,那么f(i)=max(d(i),S(i))
套了max很难直接求,但是S(i)和d(i)一定是定值,那些由S贡献的点实际上就是被它左右两边各一个点的d贡献的,更确切的,假如把那些点是由d贡献找出来,那些由S贡献的点实际上就是被它左右两边第一个被d贡献的点贡献的
这样一来假设这两个点为L,R,则f(i)=x到L的概率*d(L)+x到R的概率*d(R)
考虑这样的一个子问题:数轴上0~n长度为n一段中,求由x走到n的概率
设g(i)表示i走到n的概率,则g(0)=0,g(n)=1,g(i)=(g(i-1)+g(i+1))/2,明显这个是个等差数列啊!
那么公差就是1/n,x走到n的概率就是x/n
x走到0,同理g(0)=1,g(n)=0,公差为-1/n,概率就是n-x/n
所以f(i)=((R-x)*d(L)+(x-L)*d(R))/(R-L)
现在问题就在于如何找到那些由d贡献的点了,我们在平面直角坐标系中把(i,d(i))标出来,则这些点就是凸包上的点
why?看图,如果我们要判断x是不是靠d贡献
如图,((R-x)*d(L)+(x-L)*d(R))就是两个矩形的面积,容易发现两个圈画出来的面积是相等的,画出来的一段就是由L和R贡献出的S(x),它就在L和R的直线上,是这条直线的自变量取x时的贡献!也就是说,这个点在直线下方,就意味着S(x)>d(x),说明取d不如由L和R贡献。
完结撒花~~~
#include<cstdio>
#include<iostream>
#include<cstring>
#include<cstdlib>
#include<algorithm>
#include<cmath>
using namespace std;
typedef long long LL;
const int _=1e2;
const int maxn=1e5+_; struct point{int x,y;}p[maxn];
LL multi(point p1,point p2,point p0)
{
LL x1,y1,x2,y2;
x1=p1.x-p0.x;
y1=p1.y-p0.y;
x2=p2.x-p0.x;
y2=p2.y-p0.y;
return x1*y2-x2*y1;
}
int top,sta[maxn];
int main()
{
freopen("a.in","r",stdin);
freopen("a.out","w",stdout);
int n;
scanf("%d",&n); sta[++top]=;
for(int i=;i<=n;i++)
{
p[i].x=i,scanf("%d",&p[i].y);
while(top>&&multi(p[sta[top]],p[i],p[sta[top-]])>=)top--;
sta[++top]=i;
}
p[n+].x=n+;
while(top>&&multi(p[sta[top]],p[n+],p[sta[top-]])>=)top--;
sta[++top]=n+; int L=,R=;
for(int i=;i<=n;i++)
{
while(L<top&&p[sta[L+]].x<=p[i].x)L++;
if(p[sta[L]].x==p[i].x)
printf("%lld\n",LL(p[i].y)*100000LL);
else
{
while(R<top&&p[sta[R]].x<=p[i].x)R++;
double d=(double(sta[R]-i)*double(p[sta[L]].y))/double(sta[R]-sta[L]) +
(double(i-sta[L])*double(p[sta[R]].y))/double(sta[R]-sta[L]);
d*=;
if(fabs(d-ceil(d))<=1e-)d+=1e-;
printf("%.0lf\n",floor(d));
}
} return ;
}
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