【数学 技巧】divisor
2024-08-29 21:10:02
没考虑重复lcm处理被卡TLE没A真是可惜
题目大意
$n$为$k-可表达的$当且仅当数$n$能被表示成$n$的$k$个因子之和,其中$k$个因子允许相等。
求$[A,B]$之间$k-可表达$的数的个数
$T \le 5*10^4,2 \le K \le 7,1 \le A \le B \le 10^{18}$
题目分析
每一种拆分可以视作$1=\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+...$的形式。因为K相当小,可以先搜出每个$K$下的拆分情况,问题就转化成了求$[l,r]$之间有多少数至少是其中一个的倍数——这是一个相当经典的问题。
但是这题的数据范围要求进一步细节优化。
注意到在极限数据$K=7,T=5*10^4$下,纯粹地$2^{因数}$枚举每一种情况lcm的做法相当低效。通过观察/经验会发现,这$2^{因数}$个lcm有大量是重复的。那么我们就转而保存每个lcm的系数而非把lcm全部存下来。
这是一个计算倍数容斥问题时,显著而不甚易想起的优化。
代码很丑。没心情重构。
#include<bits/stdc++.h>
const int ass5[] = {, , , , , , };
const int ass6[] = {, , , , , , };
const int ass7[] = {, , , , , , , , , , , , , , , };
typedef long long ll; int T;
ll l,r,k,gmpAss5[],gmpAss6[],gmpAss7[]; ll read()
{
char ch = getchar();
ll num = , fl = ;
for (; !isdigit(ch); ch = getchar())
if (ch=='-') fl = -;
for (; isdigit(ch); ch = getchar())
num = (num<<)+(num<<)+ch-;
return num*fl;
}
int gcd(int a, int b){return !b?a:gcd(b, a%b);}
ll assp5(ll x)
{
ll ret = ;
for (int i=; i<; i++)
ret += x/gmpAss5[i];
return ret;
}
ll assp6(ll x)
{
ll ret = ;
for (int i=; i<; i++)
ret += x/gmpAss6[i];
return ret;
}
ll assp7(ll x)
{
ll ret = ;
for (int i=; i<=gmpAss7[]; i++)
if (gmpAss7[i]) ret += x/gmpAss7[i];
return ret;
}
void makeAss5()
{
for (int i=, ass=; i<(<<(ass)); i++)
{
ll dt = , lst = , del;
for (int j=, t=i; j<=ass; j++, t>>=)
if (t&){
++dt, del = gcd(lst, ass5[j]);
lst *= ass5[j]/del;
}
gmpAss5[i] = (dt&)?lst:-lst;
}
}
void makeAss6()
{
for (int i=, ass=; i<(<<(ass)); i++)
{
ll dt = , lst = , del;
for (int j=, t=i; j<=ass; j++, t>>=)
if (t&){
++dt, del = gcd(lst, ass6[j]);
lst *= ass6[j]/del;
}
gmpAss6[i] = (dt&)?lst:-lst;
}
}
void makeAss7()
{
ll &tot = gmpAss7[];
for (int i=, ass=; i<(<<(ass)); i++)
{
ll dt = , lst = , del;
for (int j=, t=i; j<=ass; j++, t>>=)
if (t&){
++dt, del = gcd(lst, ass7[j]);
lst *= ass7[j]/del;
}
lst = (dt&)?lst:-lst;
bool chk = ;
for (int i=; i<=tot&&chk; i++)
if (gmpAss7[i]==-lst) gmpAss7[i] = , chk = ;
if (chk) gmpAss7[++tot] = lst;
}
}
ll calc(ll x, ll k)
{
ll ret = ;
if (k==) return x;
if (k==) return x>>;
if (k==) return (x/+x/-x/);
if (k==) return (x/+x/+x/-x/-x/-x/+x/);
if (k==) return assp5(x);
if (k==) return assp6(x);
if (k==) return assp7(x);
return ret;
}
void write(ll x){if (x/) write(x/);putchar(x%+'');}
int main()
{
makeAss5(), makeAss6(), makeAss7();
for (scanf("%d",&T); T; --T)
{
l = read(), r = read(), k = read();
write(calc(r, k)-calc(l-, k)), putchar('\n');
}
return ;
}
END
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