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P3166 [CQOI2014]数三角形

前置知识：某两个点$(x_{1},,y_{1}),(x_{2},y_{2})\quad (x_{1}<x_{2},y_{1}<y_{2})$所连成的线段穿过整点的个数为$gcd(x_{2}-x_{1},y_{2}-y_{1})-1$

“注意三角形的三点不能共线。”

暗示你可以处理出总方案再减去三点共线的方案。

显然，总方案就是在$(n+1)*(m+1)$个点中任选$3$个。于是$tot=C((n+1)*(m+1),3)$

现在我们要算出三点共线的方案

对于直线上的三点共线，显然$tot1=n*C(m,3)+m*C(n,3)$

对于斜线上的三点共线，我们可以根据前置知识↑↑枚举。

然鹅暴力枚举复杂度是达到$O(n^{2}m^{2})$的

所以我们需要转化

注意到其实我们可以只枚举$l=x_{2}-x_{1},r=y_{2}-y_{1}$，相当于把这两个数据看做一个矩形的长和宽。

蓝后我们要算出整个大矩形中有几个这样的小矩形：$(n-l+1)*(m-r+1)$

每个矩形中包含$2$条对角线，所以$tot2*=2$

所以斜线上的三点共线$tot2=\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{m}(gcd(i,j)-1)*(n-i+1)*(m-j+1)$

代码中为了方便事先把$n,m$都$+1$

 #include<iostream>

 #include<cstdio>

 #include<cstring>

 #define re register

 using namespace std;

 typedef long long ll;

 ll m,n,ans;

 int gcd(int a,int b){return b?gcd(b,a%b):a;}

 int main(){

     scanf("%lld%lld",&n,&m);++n;++m;

     ll tmp=n*m;

     ans=tmp*(tmp-)*(tmp-)/;

     ans-=n*m*(m-)*(m-)/;

     ans-=m*n*(n-)*(n-)/;//减去横向和纵向的三点共线

     for(int i=;i<n;++i)

         for(int j=;j<m;++j)

             ans-=1ll*(gcd(i,j)-)*(n-i)*(m-j)*;

     printf("%lld",ans);

     return ;

     return ;

 }

巴特西

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