【BZOJ4869】相逢是问候 [线段树][欧拉定理]
2024-09-03 11:18:23
相逢是问候
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Description
Informatikverbindetdichundmich.
信息将你我连结。B君希望以维护一个长度为n的数组,这个数组的下标为从1到n的正整数。一共有m个操作,可以
分为两种:0 l r表示将第l个到第r个数(al,al+1,...,ar)中的每一个数ai替换为c^ai,即c的ai次方,其中c是
输入的一个常数,也就是执行赋值ai=c^ai1 l r求第l个到第r个数的和,也就是输出:sigma(ai),l<=i<=rai因为
这个结果可能会很大,所以你只需要输出结果mod p的值即可。
Input
第一行有三个整数n,m,p,c,所有整数含义见问题描述。
接下来一行n个整数,表示a数组的初始值。
接下来m行,每行三个整数,其中第一个整数表示了操作的类型。
如果是0的话,表示这是一个修改操作,操作的参数为l,r。
如果是1的话,表示这是一个询问操作,操作的参数为l,r。
Output
对于每个询问操作,输出一行,包括一个整数表示答案mod p的值。
Sample Input
4 4 7 2
1 2 3 4
0 1 4
1 2 4
0 1 4
1 1 3
1 2 3 4
0 1 4
1 2 4
0 1 4
1 1 3
Sample Output
0
3
3
HINT
1 ≤ n ≤ 50000, 1 ≤ m ≤ 50000, 1 ≤ p ≤ 100000000, 0 < c <p, 0 ≤ ai < p
Solution
首先,我们运用欧拉定理:
然后还有一个定理:一个数在执行log次操作后,值不会改变。
于是乎,我们可以运用线段树,暴力修改每一个值,如果值都不变了则不修改。
然后我们再考虑一下,怎么修改这个值:
已知a(原值)和times(修改次数),我们考虑每一次%什么,
考虑每一次b的模数。
首先如果b%phi(p),意味着a^b在%p下同余。
如果这一次b%phi(phi(p)),意味着a^b在phi(p)下同余,
同时也意味着下一次在%phi(p)意义下。
我们要让答案最后是在%p意义下的,那么显然每次b%phi[times-1]。
再带上快速幂,那么这样效率就是O(nlog^3(n))的。
Code
#include<iostream>
#include<string>
#include<algorithm>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<cstdlib>
#include<cmath>
using namespace std;
typedef long long s64; const int ONE = ;
const int INF = ; int n,m,p,C;
int opt,x,y;
int a[ONE],phi[ONE],p_num;
int MOD;
int res; struct power
{
int value;
int cnt;
}Node[ONE]; int get()
{
int res=,Q=;char c;
while( (c=getchar())< || c> )
if(c=='-')Q=-;
res=c-;
while( (c=getchar())>= && c<= )
res=res*+c-;
return res*Q;
} int Getphi(int n)
{
int res = n;
for(int i=; i*i<=n; i++)
if(n % i == )
{
res = res/i*(i-);
while(n % i == ) n /= i;
}
if(n != ) res = res/n*(n-);
return res;
} int Quickpow(int a,int b,int MOD)
{
int res = ;
while(b)
{
if(b & ) res = (s64)res * a % MOD;
a = (s64)a * a % MOD;
b >>= ;
}
return res;
} void Build(int i,int l,int r)
{
if(l == r)
{
Node[i].value = a[l] % MOD;
return;
}
int mid = l+r>>;
Build(i<<, l, mid);
Build(i<<|, mid + , r);
Node[i].value = (Node[i<<].value + Node[i<<|].value) % MOD;
} int Calc(int a, int times)
{
for(int i=times; i>=; i--)
{
if(a >= phi[i]) a = a%phi[i] + phi[i];
a = Quickpow(C, a, phi[i-]);
if(!a) a = phi[i-];
}
return a;
} void Update(int i,int l,int r,int L,int R)
{
if(Node[i].cnt >= p_num) return;
if(l == r)
{
Node[i].value = Calc(a[l], ++Node[i].cnt);
return;
} int mid = l+r>>;
if(L <= mid) Update(i<<, l, mid, L, R);
if(mid+ <= R) Update(i<<|, mid+, r, L, R); Node[i].value = (Node[i<<].value + Node[i<<|].value) % MOD;
Node[i].cnt = min(Node[i<<].cnt, Node[i<<|].cnt);
} void Query(int i,int l,int r,int L,int R)
{
if(L<=l && r<=R)
{
res = (res + Node[i].value) % MOD;
return;
} int mid = l+r>>;
if(L <= mid) Query(i<<, l, mid, L, R);
if(mid+ <= R) Query(i<<|, mid+, r, L, R);
} int main()
{
n = get(); m = get(); p = get(); C = get();
for(int i=; i<=n; i++) a[i] = get(); MOD = phi[] = p;
while(p!=) phi[++p_num] = p = Getphi(p);
phi[++p_num] = ;
Build(, , n); while(m--)
{
opt = get();
x = get(); y = get();
if(!opt) Update(, , n, x, y);
else
{
res = ;
Query(, , n, x, y);
printf("%d\n", res);
}
}
}
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