【LOJ6060】「2017 山东一轮集训 Day1 / SDWC2018 Day1」Set(线性基)
2024-08-26 00:18:24
大致题意: 让你把\(n\)个数分成两部分,使得在两部分异或和之和最大的前提下,两个异或和中较小的那个尽量小。输出最优的较小异或和。
线性基
关于线性基,可以看一下这篇博客:线性基入门。
解题思路
首先,做这题要有一定的位运算常识。
我们求出所有数的异或和,记作\(s\)。
则对于\(s\)二进制下每一位,我们进行分类讨论:
- 如果这一位是\(1\)。则划分出的两个集合的异或和这一位必然分别是\(0\)或\(1\),即:两个集合中这一位之和是固定不变的。
- 如果这一位是\(0\)。则划分出的两个集合的异或和这一位必然是全\(0\)或全\(1\)。
既然我们要让总和最大,由于\(1\)位上的总和不变,则显然应该先去考虑\(0\)位,使\(0\)位尽量为两个\(1\)。
然后,借助线性基的思想,我们修改一下线性基的操作方式,就可以轻松求解此题啦。
对于插入
对于插入,由于我们刚刚已经总结出使\(0\)位尽量为两个\(1\),因此,我们在插入时要优先考虑\(0\)位。
具体实现时,就是先对\(0\)位从高到低扫一遍判断是否可以插入,然后对\(1\)位从高到低扫一遍判断是否可以插入。
先扫\(0\)我们就相当于把每个最后插入到\(1\)位的数的\(0\)位全变成了\(0\),使得操作\(1\)位不会影响到\(0\)位,为后面的询问奠定了基础。
对于询问
我们先从高到低扫一遍\(0\)位,如果当前\(ans\)这一位上是\(0\),则我们尽量使其为\(1\)。
由于这一位上的数要么二进制下这一位是\(1\)(可以把\(ans\)这一位上变成\(1\)),要么这个数就是\(0\)(异或\(0\)没有任何影响),因此直接将\(ans\)异或上当前这一位的数即可。
然后从高到低扫一遍\(1\)位,如果\(ans\)这一位是\(1\),由于我们要让这个数尽量小,就异或上当前这一位的数即可(理由同上)。
代码
#include<bits/stdc++.h>
#define Tp template<typename Ty>
#define Ts template<typename Ty,typename... Ar>
#define Reg register
#define RI Reg int
#define RL Reg LL
#define Con const
#define CI Con int&
#define CL Con LL&
#define I inline
#define W while
#define N 100000
#define LL long long
using namespace std;
int n;LL s,a[N+5];
class FastIO
{
private:
#define FS 10000
#define tc() (A==B&&(B=(A=FI)+fread(FI,1,FS,stdin),A==B)?EOF:*A++)
#define tn (x<<3)+(x<<1)
#define D isdigit(c=tc())
char c,*A,*B,FI[FS];
public:
I FastIO() {A=B=FI;}
Tp I void read(Ty& x) {x=0;W(!D);W(x=tn+(c&15),D);}
Ts I void read(Ty& x,Ar&... y) {read(x),read(y...);}
}F;
class LinearBasis//线性基
{
private:
#define P 60
LL v[P+5];
public:
#define ins() {if(!v[i]) return (void)(v[i]=x);x^=v[i];}
I void Insert(RL x)
{
RI i;for(i=P;~i;--i) if(!(s>>i&1)&&x>>i&1) ins();//优先考虑0位
for(i=P;~i;--i) if(s>>i&1&&x>>i&1) ins();
}
I LL Query()
{
RI i;RL ans=0;for(i=P;~i;--i) !(s>>i&1)&&!(ans>>i&1)&&(ans^=v[i]);//尽量使0位变成1
for(i=P;~i;--i) s>>i&1&&ans>>i&1&&(ans^=v[i]);return ans;//尽量使1位更小
}
}B;
int main()
{
RI i;for(F.read(n),i=1;i<=n;++i) F.read(a[i]),s^=a[i];//统计所有数异或和
for(i=1;i<=n;++i) B.Insert(a[i]);return printf("%lld",B.Query()),0;//求解并输出答案
}
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