正整数a、b、c、d满足ab=cd,则a+b+c+d必定为合数。
2024-10-12 09:12:33
正整数a、b、c、d满足ab=cd,则a+b+c+d必定为合数。
证法一:记s=a+b+c+d。如果四个数全为1,s=4,显然是合数。考虑四个数非全1的情形,由对称性,不妨令a>1。
设p是a的一个素因数,由题设有p|c或p|d,不妨令p|c。
由p|a和p|c,知p|(a,c)。设(a,c)=pt,t为正整数。
于是有a=ptm,c=ptn,m和n为正整数且满足(m,n)=1。
由ab=cd,有ptmb=ptnd,即mb=nd。
由(m,n)=1,知m|d以及n|b。
记d=mu,b=nv,u和v为正整数。
于是mb=nd即为mnv=nmu,即有v=u。
s=ptm+nu+ptn+mu=(pt+u)(m+n),pt+u和m+n均大于1,可知s为合数。
证法二:(walls老师提供)
记(a,c)=t,t为正整数。则存在正整数m和n满足
a=mt,c=nt,(m,n)=1
ab=cd即为mtb=ntd,即有mb=nd
由(m,n)=1,知m|d和n|b。
记d=mu,b=nv,u和v为正整数。
mb=nd即为mnv=nmu,即有v=u
a+b+c+d=mt+nu+nt+mu=(t+u)(m+n),t+u和m+n均大于1,可知a+b+c+d为合数。
最新文章
- iOS-上架APP之启动页设置(新手必看!)
- Xcode 7 PCH宏文件的配置和使用---学会使用宏定义
- iOS中的上传、下载流程心得
- C/C++链表操作(面试)
- myecplise 添加svn插件
- 1891: 丘比特的烦恼 - BZOJ
- 找工作笔试面试那些事儿(10)---SQL语句总结
- [CF453B]Little Pony and Harmony Chest
- Python爬虫之selenium的使用(八)
- BZOJ.5137.Standing Out from the Herd(广义后缀自动机)
- 给Access数据库文件减肥
- protobuf与json相互转换的方法
- List&;Map&;Set的操作和遍历
- activemq.bat 在window7 x64下启动(安装)报错解决方案
- java基础(三) 加强型for循环与Iterator
- 4、第一个JAVA程序(Hello World)
- 函数响应式编程RxJava
- Yahoo! Finance财经数据PYTHON临时读取方法
- Vue-cli webpack模板
- [LuoguP1438]无聊的数列(差分+线段树/树状数组)