回文字符串 Manacher

1. Manacher

忘光了，忘光了。

首先将字符串所有字符之间（包括头尾）插入相同分隔符，再在最前方插入另一个分隔符防止越界。

设以 \(s_i\) 为对称中心的回文串中，最长的回文半径为 \(p_i\)。记录在所有遍历过的位置中（\(1\sim i-1\)），以任意一个点为对称中心的回文串的右端点最大值 \(r\)，即 \(r=\max_{j=1}^{i-1}s_j+p_j-1\)，记 \(d\) 即为取到这个最大值的对称中心。注意 \(r\) 和 \(d\) 是实时更新的。

对于当前位置 \(i\)：

若 \(i>r\)，则暴力求 \(p_i\)，此时每次扩展都会将 \(r\) 向右移动 \(1\)；
若 \(i\leq r\)，则先将 \(p_i\) 赋值为 \(\min(r-i+1,p_{2d-i})\)，再逐位扩展。

说明：因为位置 \(2d-i\) 与 \(i\) 是对称的（在 \(d\) 的最长回文半径范围内），所以在 \([d-p_d+1,d+p_d-1\ (r)]\) 范围内，\(2d-i\) 的回文串也是 \(i\) 的回文串。若 \(p_{2d-i}<r-i+1\)，那么根据对称性，\(p_i\) 的最终值就等于 \(p_{2d-i}\)。否则 \(p_i=r-i+1\)，每次扩展都会将 \(r\) 向右移动 \(1\)。

综上，总时间复杂度为 \(\mathcal{O}(n)\)。

巴特西

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1. Manacher

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